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FMF - Foro de Mineralogía Formativa
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prcantos
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MensajePublicado: 14 Jun 2013 11:13    Título del mensaje: Re: Maclas  

Una pregunta o sugerencia. A nivel topológico, la frontera de estos poliedros o cristales es un conjunto continuo y sin volumen, una superficie. Pero, ¿sería muy disparatado aproximar esta frontera topológica por la última capa física de átomos de la red cristalina?
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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 14 Jun 2013 13:09    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Orden y multiplicidad

Para el estudio de las maclas múltiples, las que involucran más de dos individuos, o más de una transformación del poliedro base, puede ser útil el concepto de orden de un elemento en un grupo.

En general, se dice que un elemento x de un grupo tiene orden k, con k un número natural mayor o igual que 1, si x^k = 1; si no existe tal número k, se dice que el elemento es de orden infinito.

En nuestro caso, es claro, por ejemplo, que la simetría plana σ es de orden 2 en el grupo de los movimientos rígidos respecto de la composición, porque aplicada dos veces produce el mismo resultado que la identidad: σ( σ(p))= σ^2(p)=p para todo punto p. O expresado con palabras, el simétrico del simétrico es el punto original.

Claramente toda traslación será de orden infinito, pues traslada los puntos siempre con la misma dirección y sentido una distancia constante; nunca se vuelve a la posición original.

En el caso de las rotaciones pueden darse dos posibilidades:

* Si el ángulo de rotación es un múltiplo racional de 360º (ó de 2π radianes), entonces la rotación será de orden finito. Concretamente, si α = 2πm / n, con m y n naturales y n ≠ 0, entonces el orden de ρ_α es n ó un divisor de n. (En el caso m = 1, el resultado de la rotación es un conjunto poligonal regular de n lados, y el eje de rotación se llamaría n-ario)

* Si el ángulo de rotación no es un múltiplo racional de 360º (ó de 2π radianes), entonces la rotación será de orden infinito: por más vueltas que se den (y nunca mejor dicho), no se recuperará la posición original.

Podemos hablar, entonces, de rotaciones racionales (o de orden finito) y de rotaciones irracionales (o de orden infinito).

Ejemplo: la rotación alrededor de un eje senario, tal como aparece en la macla cíclica del crisoberilo, es de orden 6. En este caso, la macla está compuesta por la unión de los elementos Ω, ρ(Ω), ρ^2(Ω), ρ^3(Ω), ρ^4(Ω) y ρ^5(Ω), puesto que ρ^6=id. (Ω denota el poliedro unidad o cristal base). Y geométricamente podríamos describir la macla como

Ω U ρ(Ω) U ρ^2(Ω) U ρ^3(Ω) U ρ^4(Ω) U ρ^5(Ω)

donde U denota la unión de conjuntos de puntos.

Al hilo de este ejemplo, no puedo dejar de recordar una aportación de Pete Richards en el hilo de maclas cíclicas haciéndonos notar que a menudo las maclas cíclicas reales no dependen de ángulos tan exactos como se podría pensar en un principio:

http://www.foro-minerales.com/forum/viewtopic.php?p=90248#90248

y

http://www.foro-minerales.com/forum/viewtopic.php?p=90342#90342

y siguientes.

Otro ejemplo: la rotación ρ de ángulo α=270º será de orden 4. En este caso ocurre algo que no parece admisible en una macla real: como el ángulo de rotación es mayor que la mitad de la vuelta completa, las aplicaciones sucesivas de la rotación producirían solapamientos; es decir, ρ^2 corresponde a una vuelta y media; ρ^3, dos vueltas y un cuarto; y ρ^4, tres vueltas completas, que vuelven a la posición original. Decía que estos solapamientos no parecen apropiados para una macla real... ¿o sí? Ver otra intervención de Pete Richards:

http://www.foro-minerales.com/forum/viewtopic.php?p=90781#90781

y siguientes.

Algunas observaciones:

- Naturalmente, las maclas de orden infinito sólo pueden darse incompletas en la naturaleza.

- Si una macla contiene una traslación, será de orden infinito. Ejemplos: polisintéticas, alternada en codo...

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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María Jesús M.




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MensajePublicado: 14 Jun 2013 22:09    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola, quería agradeceros este hilo, siempre he sido una negada con la visión 3D y la discusión me ayuda a aclarar mis dudas sobre las maclas.

Bueno… casi, aún tengo ejemplares que no se si son agregados cristalinos o maclas, si aún no lo tengo claro cuando acabe de digerir lo que habéis escrito… ya os preguntaré ;)

Buen fin de semana.
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Antonio Alcaide




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MensajePublicado: 15 Jun 2013 09:12    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

prcantos escribió:
Algunas observaciones:

- Naturalmente, las maclas de orden infinito sólo pueden darse incompletas en la naturaleza.

- Si una macla contiene una traslación, será de orden infinito. Ejemplos: polisintéticas, alternada en codo...


La lectura de estos últimos posts de Pablo me animan a plantear una cuestión terminológica: ¿no sería más adecuado acuñar términos que distinguieran -ya desde el propio término- esa tipología de las maclas, es decir, que añadieran algo de información a la clasficación más básica de: contacto/penetración? Permitiría también comparar unas maclas con otros desde su definición -lingüística, porque lo definitivo sería la comparación matemática según la notación de Pablo-. Sin sistematizar las posibilidades (intentaré hacerlo) pongo algunos ejemplos:

- Macla de contacto finita de orden 2 (el orden indica el número de individuos maclados), por ejemplo el yeso. Lo que me parece mucho más operacional que decir "cristal de yeso maclado con macla de contacto formado por dos individuos".

- Macla de penetración finita de orden 2. Ejemplo: macla de penetración de la estaurolita.

- Macla de contacto finita de orden 6. La del crisoberilo.

Se me ocurren pequeñas ventajas: no necesitar el término “múltiple” ya que el número de orden –de individuos-, que sirve tanto para las finitas como para las infinitas, ya nos da esa información. Podríamos añadir otro parámetro: la completud. Está claro que las infinitas son incompletas en la naturaleza (lo que vemos es una “sección” de la macla”). Pero las finitas pueden aparecer sin todos sus individuos.

De estas manera, una macla de contacto finita de orden 4 donde sólo pueden darse cuatro cristales por el tipo de macla y una macla de contacto finita de orden 4 en un crisoberilo (porque falten 2 para completarla) ya no se confundirían. A la primera la llamaríamos:

- Macla de contacto finita completa de orden 4

Y a la segunda:

- Macla de contacto finita incompleta de orden 4 (n=6) donde n es obviamente el total de individuos posibles para esa macla.

Obviamente un ejemplo de notación para una macla por traslación –infinita- sería:

- Macla de contacto infinita de orden 7 (n=infinito -no hay forma de copiar el símbolo aquí) Aparecen sólo 7 individuos del continuo posible.

Bueno, como no puedo ayudar demasiado, Pablo, desde un punto de vista matemático, espero poder ayudar en la parte terminológica, ya que veo grandes posibilidades en tu planteamiento para llegar a una forma de descripción mucho más operacional y científica de las maclas.

Saludos

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prcantos
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MensajePublicado: 15 Jun 2013 13:38    Título del mensaje: Re: Maclas  

Antonio Alcaide escribió:
... no necesitar el término “múltiple” ya que el número de orden –de individuos-, que sirve tanto para las finitas como para las infinitas, ya nos da esa información.


Bueno, en realidad el concepto de "orden" no es equivalente al número de individuos. Orden hace referencia, dicho ahora con palabras, a la capacidad de un elemento (de un cristal en nuestro caso) para generar nuevos elementos (más cristales en posición de macla). Por analogía se puede hablar de orden del conjunto completo de elementos después de aplicar la transformación.

De esta forma, la macla del crisoberilo por rotación sobre un eje senario será siempre de orden seis, aunque no haya más que dos individuos perfectamente formados, más una yema de otro que no llegó a crecer, y ni rastro de los tres que faltan. El orden es seis necesariamente; el número de individuos será 2, 3, 4, 5 ó 6 fácticamente. Por eso el concepto de "múltiple" (o sus concreciones: doble, triple...) es muy conveniente:

macla cuádruple de orden seis del crisoberilo = un crisoberilo maclado con cuatro cristales solamente

Por otra parte, incluir en los nombres las palabras "finito" o "infinito" es redundante:

- toda macla de orden finito será necesariamente finita; completa o no, pero finita.

- toda macla de orden infinito será necesariamente finita en la naturaleza (en la teoría no necesariamente, claro), de modo que si incluimos esta cualidad del orden infinito en el nombre del movimiento, no hace falta repetirlo con otra palabra. Por ejemplo: una macla séxtuple acodada alternante del ruitlo significa que hay seis cristales de rutilo maclados en codo de forma alternada (en wwwww); como esta macla está descrita mediante una simetría deslizante, que incluye una traslación, ya se sabe que es una macla de orden infinito, y si es real, también incompleta.

Espero que esto pueda ayudarte, Antonio, a pulir esa terminología que estás preparando, y que sin duda será muy precisa e interesante.

Y una cosa más, a ver qué pensáis (adelantándome un poco a lo que vendrá más adelante): ¿qué os parecería reservar el término "cíclico" para el caso en el que el orden de la rotación y el número de individuos sí coincidan? Es decir, para el caso de una macla completa por rotación: el aragonito triple, el crisoberilo séxtuple... Esto permitiría ahorrar en los nombres: macla cíclica triple del aragonito equivale a macla triple de orden tres del aragonito. Es decir:

n-cíclico = n-tuple de orden n,

para cualquier n. ¿Qué os parece?

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 15 Jun 2013 14:23    Título del mensaje: Re: Maclas  

prcantos escribió:
...Orden hace referencia, dicho ahora con palabras, a la capacidad de un elemento (de un cristal en nuestro caso) para generar nuevos elementos (más cristales en posición de macla). Por analogía se puede hablar de orden del conjunto completo de elementos después de aplicar la transformación.


Perdonad: al tratar de decirlo con palabras, sin notación matemática, me he expresado estupendamente mal. Lo intento de nuevo.

Orden (de un elemento) hace referencia a la capacidad de un elemento de un grupo para generar nuevos elementos. En el caso de los movimientos rígidos, el orden de uno de ellos se refiere a su capacidad para generar transformaciones o posiciones nuevas de un cristal original. Ejemplo: una simetría plana sólo puede generar un cristal distinto al original; el siguiente coincidirá con el primero; por eso es de orden 2. Ejemplo: una rotación alrededor de un eje quinario sólo podrá producir cuatro nuevos cristales diferentes a partir del original; por eso es de orden 5. Otros movimientos pueden producir infinitos resultados distintos.

Abusando del lenguaje, pero con toda coherencia, podemos hablar por analogía del "orden de una macla" entendiendo que nos referimos al orden del movimiento rígido que la describe o genera.

Ahora sí está mejor.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Antonio Alcaide




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MensajePublicado: 15 Jun 2013 21:51    Título del mensaje: Re: Maclas  

Gracias, Pablo, por tus precisiones. Las estudiaré con calma. De todas formas, creo que con el concepto de orden quieres caracterizar los tipos de maclas múltiples, de ahí que siempre sean de un orden específico. Yo me refería a maclas individuales concretas, lo que tú llamas lo "factual". No estamos diciendo por tanto algo muy diferente. Trataré de sistematizarlo mejor.

Saludos

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prcantos
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MensajePublicado: 15 Jun 2013 22:37    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

En realidad todas las maclas tienen un orden, el de su movimiento rígido asociado, tanto las múltiples como las simples. Lo que ocurre es que si el orden es mayor que 2, entonces es posible una multiplicidad también mayor que 2.

Ya he terminado esta primera clasificación en una tabla que relaciona el orden con los conceptos de contacto y penetración.

La notación que empleo es:

* θ es el orden del movimiento rígido.
* Q es el conjunto de los números racionales.
* R es el conjunto de los números reales.
* R\Q son los reales menos los racionales, es decir, los números irracionales.
* PF es el conjunto de puntos fijos del movimiento rígido, que coincide con el plano de simetría o con el eje de rotación, según el caso, y es vacío en presencia de una traslación.

¿Es una clasificación de las maclas? Por desgracia no. Es una clasificación de los movimientos rígidos asociados a maclas, que es sólo un primer paso. (Recuerdo que aún no he dado una definición de macla desde este planteamiento).

Nótese que la clasificación es exhaustiva porque tanto las opciones verticales (contacto y penetración) como las horizontales (orden 2, orden finito mayor que 2, y orden infinito) son ambas también exhaustivas.



figura7.jpg
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figura7.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Josele




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MensajePublicado: 16 Jun 2013 21:25    Título del mensaje: Re: Maclas  

Antes de que Pablo imponga condiciones estructurales al tratamiento geométrico-algebraico de las maclas, aquí vienen unas cíclicas de orden 5 con las que me he topado esta tarde mientras daba un paseo:


P1110600.JPG
 Descripción:
Adelfa
diámetro: 5 cm
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P1110600.JPG



P1110602.JPG
 Descripción:
Adelfa
diámetro: 5 cm
 Visto:  9401 veces

P1110602.JPG



P1110598.JPG
 Descripción:
Malva
diámetro: 4 cm
 Visto:  9390 veces

P1110598.JPG



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Josele
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arturo shaw




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MensajePublicado: 17 Jun 2013 09:45    Título del mensaje: Re: Maclas  

Pero Josele, esas ni siquiera son de la misma “clase cristalográfica”, las adelfas solo tienen un eje de rotación mientras que la última también tiene cinco planos de simetría. :-)
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arturo shaw




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MensajePublicado: 17 Jun 2013 09:59    Título del mensaje: Re: Maclas  

"Master Pete" acaba de publicar en el foro inglés una obra maestra de estudio sobre maclas en el aragonito pseudoexagonal: http://www.mineral-forum.com/message-board/viewtopic.php?p=32276#32276

Que aproveche!

Arturo
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prcantos
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MensajePublicado: 17 Jun 2013 10:19    Título del mensaje: Re: Maclas  

arturo shaw escribió:
Pero Josele, esas ni siquiera son de la misma “clase cristalográfica”, las adelfas solo tienen un eje de rotación mientras que la última también tiene cinco planos de simetría. :-)


Sin embargo, desde este acercamiento algebraico, se trata de tres rotaciones de orden 5, como bien ha dicho Josele. Fíjate, Arturo: la simetría de la malva (la tercera flor) es debida a la forma simétrica de cada individuo (pétalo), pero desde el punto de vista del movimiento rígido no hay ninguna diferencia: todas se pueden modelizar mediante rotaciones de orden 5. Según la elección que hagamos del individuo base, podríamos tener dos de contacto y una de penetración (en la última se aprecia cierto solapamiento de los pétalos cerca del centro, que es "creciente" en el sentido de las agujas del reloj).

Creo que estos ejemplos de Josele, con estas observaciones, ilustran perfectamente qué aspectos están presentes en el tratamiento algebraico formal que yo estoy proponiendo, y hasta qué punto éste es independiente de la estructura (cristalina o no) o de la naturaleza (mineral o no) de los individuos.

En cuanto al estudio de Pete Richards, es extraordinario. Dicho con este lenguaje algebraico, consiste en hacer una nueva elección de Ω y de α manteniendo el mismo eje de rotación. Aunque en abstracto puede haber muchas elecciones válidas, habrá algunas que se adapten mejor a la realidad, y eso es lo que Pete ha esclarecido. Merece la pena leerlo, de verdad.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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MensajePublicado: 17 Jun 2013 11:06    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hemos movido este hilo a la sección: Apuntes de Ciencia y Minerales, ya que como se puede ver en la descripción de esa sección:

Este Foro se ha creado para impulsar y promover todas las iniciativas relacionadas con la investigación científica de los minerales y quiere ser una especie de sección VIP de FMF en donde se irán poniendo aquellos temas que destaquen por su calidad y profundidad científica.

este hilo encaja en ella como anillo al dedo ;-)
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arturo shaw




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MensajePublicado: 17 Jun 2013 11:47    Título del mensaje: Re: Maclas  

Pablo, ningún "pero" a la rotación 5 pero no me juntéis cositas con tipos diferentes de simetría :-)

Saludos

Arturo
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prcantos
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MensajePublicado: 17 Jun 2013 12:06    Título del mensaje: Re: Maclas  

¿Por qué no? Dime por favor a qué te refieres al decir "tipos diferentes de simetría", porque justamente eso, el concepto de simetría global del resultado, es lo que hace tan débiles o tan ambiguas ciertas definiciones de macla. Y en eso estoy pensando estos días, así que si me lo puedes aclarar me ayudarás mucho.
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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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arturo shaw




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MensajePublicado: 17 Jun 2013 12:27    Título del mensaje: Re: Maclas  

Como tú dices todas son rotaciones de orden 5, pero las adelfas, al tener ese giro en los pétalos, no tienen planos de simetría. Si pones un espejo, que en la malva te completa la flor, en las adelfas el giro sale invertido, no sirve, no tienen esa simetría. Puestos a clasificar las flores (o lo que sea) en clases de simetría, estarían en clases diferentes. Sólo es eso.

Tomadas como "maclas de pétalos" la simetría de la macla es externa e independiente de la de los individuos y todas tienen la rotación de orden 5. Ningún problema ahí.

Saludos

Arturo
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prcantos
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MensajePublicado: 17 Jun 2013 12:40    Título del mensaje: Re: Maclas  

Vale. Lo que ocurre es que esos cinco planos de simetría no son útiles en este caso para generar la macla, porque tomado cualquiera de ellos, la unidad elemental que habría que considerar estaría formada por dos pétalos... ¡y medio!, todos consecutivos, generándose una macla de contacto; o bien tres pétalos consecutivos, y se tiene una macla de penetración.

Desde luego formalmente es posible, pero pasaría algo parecido a la descripción del aragonito como macla cíclica triple, que no se adapta a la realidad del agregado, como Pete Richards ha confirmado.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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MensajePublicado: 17 Jun 2013 13:26    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Antes de llegar al apartado de definiciones creo que es conveniente poner algunos ejemplos concretos que, por alguna razón, desafíen lo expuesto hasta aquí. Es la mejor manera de pulir todo lo dicho.

Cristales desiguales: versión local del formalismo

Es frecuente que en maclas clásicamente admitidas los cristales no sean del mismo tamaño: ocurre con frecuencia en la macla japonesa del cuarzo y en la macla en cruz de la estaurolita. Esta observación constituye una dificultad importante al intentar aplicar tanto las definiciones de macla como este formalismo de los movimientos rígidos: la simetría global del conjunto puede perderse, o verse al menos muy comprometida; y el cambio de tamaño o forma de los cristales es incompatible por definición con la acción de movimientos rígidos.

Una solución puede ser aplicar el formalismo localmente para asegurar la estructura; localmente significa en entornos pequeños de los puntos, y no al conjunto global de los cristales. Tomemos una de esas maclas de individuos desiguales (en el sentido de que uno de los cristales, de la misma especie, muestra algún tipo de deformación no rígida: crecimiento incompleto, menor desarrollo...). Consideremos un punto cualquiera p de la frontera entre ambos cristales: p ϵ Ω ∩ Ω' ≤ ∂Ω ∩ ∂Ω', donde Ω es el cristal de referencia y Ω' el cristal imperfecto. Construyamos una esfera abierta de centro p y radio ε > 0, denotada por B(p, ε), y consideremos su intersección con el conjunto de los dos cristales, denotada por Ω _(p, ε) = B(p, ε) ∩ Ω U Ω'.

En estas condiciones, siempre podremos aplicar el formalismo precedente y alcanzar el grado exigido de simetría en Ω _(p, ε) para algún ε > 0 suficientemente pequeño. La idea es que en toda macla auténtica, aunque haya diferencia de tamaño entre los individuos, podamos aplicar este formalismo localmente y alcanzar el grado satisfactorio de simetría; es decir, para cualquier p ϵ Ω ∩ Ω' existirá ε > 0 tal que Ω _(p, ε) cumple el formalismo y goza de suficiente simetría.

Además, cuando esto se cumple es posible elegir Ψ ≤ Ω tal que Ψ U f(Ψ) ≤ Ω U Ω' es simétrico y cumple el formalismo. Es decir, podemos elegir un trozo del cristal Ω al cual podemos aplicar el movimiento rígido f para obtener el trozo adecuado de macla. En el ejemplo de la figura 8, habría que "recortar" el cristal mayor.

Es claro que esta aplicación local (en entornos pequeños de puntos) del formalismo no afecta a la estructura. Además, es compatible, y muy adecuadamente, con el estudio de las maclas a nivel de redes cristalinas en el acercamiento atómico.



figura8.jpg
 Descripción:
Aunque los dos individuos de esta macla japonesa del cuarzo son de diferente tamañ, es fácil comprobar que localmente en la frontera de ambos cristales el formalismo se cumple perfectamente. Así, aunque el agregado Ω U Ω' es globalmente asimétrico, sí lo es localmente porque (Ω ∩ B(p, ε)) U (Ω' ∩ B(p, ε)) es simétrico.
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figura8.jpg



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MensajePublicado: 17 Jun 2013 16:32    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Cálculo matricial de elementos geométricos de las maclas

Formalizar las maclas mediante movimientos rígidos permite emplear el cálculo matricial para resolver problemas relacionados con su geometría. El teorema de clasificación de movimientos rígidos proporciona sistemas de referencia del espacio afín asociados a formas canónicas de matrices que hacen realmente simples estos cálculos. Veámoslo con un ejemplo tomado del modelo de penetración para la macla triple del aragonito que ha confirmado Pete Richards en el foro inglés.

Si tomamos el punto base O en el centro de la figura, y u=(100), v=(010) y w=(001) la base ortonormal usual B con w perpendicular al plano del papel (vector director del eje r de rotación), entonces la matriz de la aplicación lineal asociada a la rotación ρ_(r,α) es la que aparece en la figura 9.

Según Pete Richards, el ángulo entre dos de los individuos maclados (el azul y el rojo) es α=63'8º, es decir, 1'1135 radianes. Esto permite calcular la posición del cristal rotado (ver el cálculo en la figura), que resulta ser prácticamente (1 -2 0). El signo se puede cambiar tomando la orientación opuesta, obteniéndose (120).



figura9.jpg
 Descripción:
Cálculo de la posición del individuo rotado (color rojo) en la macla pseudohexagonal del aragonito. El resultado se divide por la menor componente no nula (en valor absoluto) para obtener alguna componente igual a 1. Se obtiene un resultado muy próximo a (1 -2 0).
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figura9.jpg



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MensajePublicado: 17 Jun 2013 18:37    Título del mensaje: Re: Maclas - fe de errores  

Se me olvidaba decir que el resultado exacto (1 -2 0) corresponde a los sesenta grados exactos, claro, porque cos 60º = 1/2. Así que no sé por qué he redondeado el resultado correspondiente a un ángulo medido con tanta exactitud.

Además en el ejemplo de la macla japonesa con cristales desiguales, la condición Ω ∩ Ω' ≤ ∂Ω ∩ ∂Ω' es sólo para maclas de contacto, pero se puede eliminar tranquilamente, porque en realidad no aporta nada aquí. El caso de maclas de penetración es análogo a lo expuesto allí, con la facilidad de que la bola B(p, ε) se puede tomar contenida por entero en la zona interior común de los cristales Ω ∩ Ω'.

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