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FMF - Foro de Mineralogía Formativa
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prcantos
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MensajePublicado: 21 Jul 2013 16:39    Título del mensaje: Re: Maclas  

Muchas gracias por todas estas observaciones. Intento responder una por una.

Cesar M. Salvan escribió:
Me he perdido aquí ¿Entonces qué se concluye del estudio del agregado de pirita de Navajún, sabiendo que no es una macla?


Por ahora lo que hemos logrado, independientemente de que sean maclas o no, es obtener un ejemplo de ACR generado por un movimiento helicoidal (hasta ahora yo no tenía ninguno) y probar que los cubos del mismo tamaño que rotan según el eje (111) se relacionan mediante un movimiento helicoidal o una rotación axial (dos de los siete movimientos posibles, lo cual acota bastante las posibilidades); por tanto, se pueden asociar en forma de SDP con movimiento rígido conocido. Ahora mismo, esto es muy poco, pero en seguida abordo el caso general (siguiente post).

Antonio Alcaide escribió:
...los párrafos que he citado tienen toda la pinta de adaptar "ad hoc" el sistema ante un caso problemático, lo que no me gusta mucho desde el punto de vista teórico.


En realidad se trata de un procedimiento muy común en Matemáticas: imponer las condiciones deseadas para generar ecuaciones o condiciones que permitan detectar qué condiciones iniciales nos las aseguran. Reconozco que esto de pasar a un sistema de referencia desconocido que resuelve el problema puede parecer un poco llamativo o sorprendente, pero es lo que se hace siempre cuando calculamos formas canónicas de matrices (en este caso, diagonalización por semejanza), que es lo que subyace a todo esto. De verdad, no hay ningún problema en adaptar el sistema de referencia a la geometría del problema que nos ocupa: para eso están los infinitos sistemas de referencia y las matrices de cambio de base. (Lo contrario sí sería preocupante: forzar la realidad para adaptar los casos reales a una teoría o modelo se llama idealismo; pero aquí hay un sistema abstracto e independiente de los ejemplos concretos que se puede usar en cada uno de ellos).

Antonio Alcaide escribió:
...en la foto del agregado de piritas que has publicado, los cubos no coinciden sobre las aristas, como en el primer diagrama...


Es cierto, pero se trata simplemente de una foto decorativa, así que no hay problema. Me sirve igual cualquier otra, porque el razonamiento se hace en general y ayudándose de diagramas (y cuanto menos regulares, mejor para evitar equívocos), pero éstos se pueden quitar también a posteriori sin que afecten al formalismo (sólo ayudan a construirlo, son como andamios).

Antonio Alcaide escribió:
...las combinaciones de agregados son muy variadas. No sé si tu planteamiento pretende ser exhaustivo o no.


Como le acabo de decir a César, era sólo para el caso de rotación alrededor de un eje muy concreto. La verdad es que la última frase de mi post anterior puede llevar a confusión. Pero en el siguiente post (caso 3) sí aparece ya el caso general: relación entre cubos del mismo tamaño en posiciones arbitrarias.

Me alegra que los ejemplos concretos, que ayudan a pisar tierra (tierras riojeñas en este caso), susciten tantos comentarios. Saludos.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 21 Jul 2013 16:49    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Estudio de las piritas de Navajún (continuación del ejemplo anterior)

Abordemos ahora el caso general.

Tercer caso: relación entre todos los cubos del mismo tamaño

Consideremos dos cubos de lado 1 cualesquiera en el espacio afín R^3, llamados Ω y Ω'. Tomemos O un vértice de Ω y escojamos otros tres vértices de Ω, {p_1, p_2, p_3} tales que B={u_1=Op_1, u_2=Op_2, u_3=Op_3} sea una base ortonormal de R^3 positivamente orientada (ver figura 26), donde pq denota el vector de origen el punto p y extremo el punto q. Entonces {O,B} es un sistema de referencia afín ortonormal positivamente orientado de R^3. Análogamente tomamos otro sistema de referencia {O',B'={u'_1, u'_2, u'_3}} basado en cuatro vértices no coplanarios de Ω'.

Sea τ la traslación de vector OO', y sea g la única aplicación afín que verifica:

g(O') = O'
g(u_i) = u'_i para i=1, 2, 3,

donde g es la aplicación lineal asociada a g.

En estas condiciones, sabemos que g está bien definida, es única y, además, es un movimiento rígido porque lleva un sistema de referencia ortonormal en otro. Clasifiquemos g mediante el estudio de su isometría lineal asociada g.

Por el teorema de clasificación de las isometrías del espacio vectorial R^3, sabemos que existe una base ortonormal de vectores, positivamente orientada, en la que la matriz de g alcanza su forma canónica según uno de los seis casos de la figura 26. Pero como hemos tenido la precaución de conservar siempre la orientación positiva, sabemos que g es un movimiento rígido directo, por lo que la isometría g tiene determinante +1, y no -1. Por tanto, podemos tachar las tres matrices canónicas con determinante -1.

Así, tenemos que la forma canónica de la matriz de la isometría g es la matriz M, que engloba los otros dos casos para ángulos α = 0 y α = π (ya que cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos π = -1 y sin π = 0).

Por tanto, clasificamos g como una rotación axial ρ. De este modo, el movimiento rígido que lleva el cubo Ω en el cubo Ω' es f= τρ, que se clasifica como un movimiento helicoidal (canónico) o como una rotación axial, dependiendo de que el vector de traslación OO' sea paralelo al eje de rotación o no lo sea (es lo que hemos hecho en el caso 2 para un eje concreto, pero la generalización es inmediata).

Concluimos, así, que todos los cubos de lado unidad del espacio afín están relacionados por un movimiento helicoidal o por una rotación axial. Naturalmente, la extensión a cubos iguales de lado cualquiera es inmediata haciendo el correspondiente cambio de escala. Es decir:

Dados dos cubos iguales cualesquiera del espacio afín tridimensional, existe un movimiento helicoidal o una rotación axial que lleva uno en el otro.

La consecuencia para los ACR de Navajún es clara: todo ACR de cubos de pirita es una unión de SPD generadas por movimientos helicoidales o rotaciones axiales.

Además, esta forma de proceder, eligiendo un sistema de referencia basado en cuatro vértices no coplanarios del cubo, permite extender el resultado anterior a cubos de cualquier tamaño: basta normalizar los vectores (dividiendo por sus módulos) para poder aplicar el resultado anterior no directamente a los cubos, sino a sus posiciones en el espacio.

Observación importante: esta elección de las orientaciones positivas es lícita en abstracto, y de hecho es la que permite eliminar las simetrías planas (determinante = -1) en los movimientos rígidos entre cubos; pero si tuviésemos en cuenta la red cristalina, estaríamos despreciando algo tan importante como la orientación cristalográfica. Hay que recordar una vez más la naturaleza del planteamiento abstracto que estamos usando.



figura26.jpg
 Descripción:
Movimientos rígidos que "llevan cubos en cubos" preservando la orientación.
 Visto:  14171 veces

figura26.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 21 Jul 2013 17:19    Título del mensaje: Re: Maclas - bibliografía para la parte algebraica  

Referencias para la parte algebraica:

* N. Jacobson, Basic Algebra I, New York 1985.
* A. Romero Sarabia, Álgebra lineal y geometría I, Granada 1986.
* L. M. Merino González y E. Santos Aláez, Álgebra lineal con métodos elementales, Granada 1997.

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Pep Gorgas




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MensajePublicado: 26 Jul 2013 11:44    Título del mensaje: Re: Maclas  

Yo, seré sincero, me he perdido desde el párrafo aquel que dice: No, si esto de las maclas es muy fácil...
Como parte de la culpa es mia, añado una calcita de la que dudo de la procedencia pero creo que vino con una partida de piezas de Brasil.



M Calcita.JPG
 Descripción:
calcita
minas gerais, Brasil
pieza 6x6 cm, foto 6mm
Macla en mariposa?
 Visto:  14053 veces

M Calcita.JPG



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Pep Gorgas
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prcantos
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MensajePublicado: 27 Jul 2013 12:49    Título del mensaje: Re: Maclas  

Pep Gorgas escribió:
Como parte de la culpa es mia...


¡Pues muchas gracias por ser el "culpable" de abrir este hilo! Realmente he disfrutado mucho reflexionando a mi manera sobre las maclas, compartiéndolo aquí y discutiendo sobre ello. Ya sólo me queda hacer una crítica de las definiciones de macla que tengo a mano y redactar algunas conclusiones que recojan lo principal de mi planteamiento algebraico (en ello estoy).

Pero para que no sea todo tan teórico, hoy pongo un ejemplo de una ortosa que tengo desde hace unos meses y a la que no había prestado mucha atención hasta que empecé a colaborar en este hilo. Consultando también en Mindat he podido saber que se trata de microclina (no de ortoclasa, como yo creía), y que puede ser perfectamente una macla de Baveno. ¿Qué pensáis?

Saludos.



IMG_2283 copia.jpg
 Descripción:
Microclina
Sils, La Selva, Gerona, Cataluña, España
32 x 23 x 50 mm.
Vista general del prisma rematado y de la base de albita y granos de cuarzo.
 Visto:  13985 veces

IMG_2283 copia.jpg



IMG_2277 copia.jpg
 Descripción:
Microclina
Sils, La Selva, Gerona, Cataluña, España
32 x 23 x 50 mm.
Vista de la terminación del prisma. Se aprecian aristas que con mucha probabilidad permitan distinguir los dos cristales maclados según la ley de Baveno.
 Visto:  13995 veces

IMG_2277 copia.jpg



IMG_2282 copia.jpg
 Descripción:
Microclina
Sils, La Selva, Gerona, Cataluña, España
32 x 23 x 50 mm.
Otra vista de la terminación. El triángulo que aparece en la parte inferior de esta foto parece ser un poco más rugoso que el otro triángulo grande. No sé si este dato tiene algo que ver (recuerdo un hilo reciente sobre la rugosidad de las caras de las fluoritas...).
 Visto:  13980 veces

IMG_2282 copia.jpg



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Pep Gorgas




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MensajePublicado: 27 Jul 2013 15:13    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola Pablo
Pues si, en mi modesta opinion tiene toda la pinta de una macla de Baveno. Te agradezco, por la parte que me toca, tu colaboración en este hilo, que sigo aunque has colocado el nivel muy alto (yo estudié cálculo matricial, pero lo tengo mas oxidado que los roblones de la torre Eiffel) el sentido de lo que explicas si lo puedo seguir.
El problema, mas filosófico, que me preocupa es que las reglas humanas, con toda su buena fe, pretenden encorsetar a la naturaleza y no hay manera, esta acaba haciendo lo que le da la gana y a nosotros no nos queda otra que observar y intentar mejorar la teoria y readaptarla una y otra vez. Y con las maclas esto ocurre con frecuencia, por eso, muchas veces, las opiniones de gente muy experta no coinciden. Presenté una posible macla del Japon en este Foro y en el Foro ingles y todavia no se han puesto de acuerdo...
Para mi esto lo hace interesante y divertido.

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Pep Gorgas
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prcantos
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MensajePublicado: 27 Jul 2013 20:59    Título del mensaje: Re: Maclas  

Muchas gracias, Pep.

Pep Gorgas escribió:
Para mi esto lo hace interesante y divertido.


Pues sigamos con la diversión. En el foro inglés Ru Smith ha puesto esta fluorita con una etiqueta donde se lee: "fluorite, penetration twin", una atractiva macla de fluorita zonada. Lo de atractiva y zonada está fuera de dudas, pero, ¿qué pasa con lo de "macla de penetración"? A partir de la foto creo que es evidente la falta de simetría; parece apreciarse incluso que no se trata de una rotación de eje (111), sino de lo que yo he llamado un movimiento helicoidal (se aprecia en los vértices inferiores izquierdos de los cubos: no coinciden).

En estas condiciones de asimetría global, ¿podemos deducir que, a nivel interno, las redes cristalinas no están bien solapadas o coordinadas o "en fase" (o como se diga), como debería ocurrir en el caso de las maclas? Es decir, ¿se trata realmente de una macla? Hay otro ejemplo aun más escandaloso en el mismo hilo.



fluorite_blackdene_1_185.jpg
 Descripción:
Fluorita, macla de penetración, ex col. Arthur Scoble.
Blackdene Mine, Ireshopeburn, Weardale, North Pennines, Co. Durham, England, Reino Unido
25 mm.
 Visto:  13935 veces

fluorite_blackdene_1_185.jpg



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paco




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MensajePublicado: 28 Jul 2013 10:50    Título del mensaje: Re: Maclas  

Pablo, me perdí hace tiempo en este hilo. Pero SI es macla, de compenetración, y muy clásica, la fluorita de la foto.
Saludos.
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prcantos
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MensajePublicado: 30 Jul 2013 15:04    Título del mensaje: Re: Maclas  

Gracias, Paco. Además Ru Smith, en el foro inglés, ha explicado por qué sí es una macla: es porque los ángulos entre las aristas o los ejes de los cubos son de aproximadamente 60º, justo lo que apuntó Josele en una de sus aportaciones anteriores.

Dicho con la terminología algebraica, lo que ha ocurrido es que a la rotación de 60º sobre (111) ha seguido una traslación determinada, un múltiplo (supongo) de las dimensiones de la celdilla unidad, de forma que, aunque la simetría se pierde y los cristales pueden crecer desigualmente, la coincidencia de la red cristalina queda preservada.

Es decir, se trata definitivamente de un ejemplo admitido de macla por movimiento helicoidal. Además, admite también un "déficit" de simetría global en favor de otras condiciones.

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prcantos
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MensajePublicado: 09 Ago 2013 11:49    Título del mensaje: Re: Maclas  

Me falta un ejemplo para completar la clasificación algebraica de las maclas y necesito vuestra ayuda. ¿Alguien conoce algún caso de macla por inversión respecto a un punto? Se trata de una ley de macla que aparece citada a veces en la literatura junto a la simetría plana y la rotación axial, pero no encuentro ejemplos. ¿Conocéis alguno?
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Josele




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MensajePublicado: 09 Ago 2013 20:22    Título del mensaje: Re: Maclas  

La fluorita anterior sí parece una macla de penetración (111), aunque habría que medir los ángulos con precisión para estar seguros. El hecho de que los vértices que pasan por {111} no coincidan es irrelevante pues lo que cuenta son los ángulos.

Respecto a una macla cuya operación de macla sea únicamente la inversión según un punto (centro de simetría) creo que no puede existir pues, como en cristalografía los planos son trasladables siempre y cuando se mantenga el paralelismo, dicho punto siempre podría considerarse integrante de un elemento de simetría de uno de los cristales individuales, contraviniendo la definición de macla, ¿o me he hecho un lío?

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prcantos
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MensajePublicado: 09 Ago 2013 23:14    Título del mensaje: Re: Maclas  

Eso es, es cuestión de relaciones angulares.

Sobre lo otro, escribo de memoria, pero creo que esa restricción es solamente para planos, no para puntos o rectas. Además, salvo paralelismo cualquier punto puede pertenecer a cualquier plano...

He encontrado un posible ejemplo, pero necesito que me lo confirméis: la macla de penetración formada por dos tetraedros del diamante, que solamente la he visto citada en un lugar (ahora no tengo a mano la referencia, mañana intento ponerla).

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prcantos
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MensajePublicado: 10 Ago 2013 09:01    Título del mensaje: Re: Maclas  

Aquí está la referencia: Eric Bruton, Diamantes, Publicaciones de la Universidad de Barcelona, Barcelona 1984.

Se puede consultar en esta vista previa del libro en la página 401 (segundo dibujo de la figura 17.19). Son dos octaedros invertidos y colocados en interpenetración formando un conjunto simétrico.

(enlace normalizado por FMF)

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Josele




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MensajePublicado: 10 Ago 2013 17:47    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola Pablo,

Pues sí, ese tetraedro maclado que sale en la figura 17.19 del libro citado tiene un centro de simetría que parece ser el elemento de la operación de macla. Sin embargo también tiene varios planos de simetría que pasan por el centro: (100), (010), (001) y (110), (101), (011). Dichos planos son planos de simetría de las formas holoédricas del sistema cúbico pero no en el caso del tetraedro, por lo que son válidos como plano de macla para el tetraedro. Yo lo definiría como una macla de penetración según [111], o sea que la operación de macla sería una inversión según el plano (111) mas giro de 60º alrededor del eje de simetría ternario [111]

Por otra parte, en ese mismo libro que citas, en la figura 17.15, pone 6 ejemplos de maclas de los cuales solo el primero es una verdadera macla, el resto yo diría que son agregados. Creo que tampoco lo son los ejemplos que pone en las figuras 17.16 (cubos en paralelo) ni la 17.17 (octaedros en paralelo).

No sé si estarás de acuerdo con esto, te agradeceré me corrijas si me equivoco.

Un saludo.

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prcantos
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MensajePublicado: 10 Ago 2013 22:02    Título del mensaje: Re: Maclas  

Josele escribió:
...Pues sí, ese tetraedro maclado que sale en la figura 17.19 del libro citado tiene un centro de simetría que parece ser el elemento de la operación de macla. Sin embargo también tiene varios planos de simetría que pasan por el centro: (100), (010), (001) y (110), (101), (011). Dichos planos son planos de simetría de las formas holoédricas del sistema cúbico pero no en el caso del tetraedro, por lo que son válidos como plano de macla para el tetraedro. Yo lo definiría como una macla de penetración según [111], o sea que la operación de macla sería una inversión según el plano (111) mas giro de 60º alrededor del eje de simetría ternario [111]


Sí, creo que es otra manera de describirlo: simetría plana más giro, que no deja de ser un movimiento rígido del tipo ρσ, lo mismo que la inversión; es decir, me vale igualmente como el ejemplo que me faltaba. Sólo una apreciación: si dices "inversión respecto de un plano" (es decir, respecto de un punto del plano), ya no hace falta la rotación posterior; si dices "simetría plana", entonces sí hace falta la rotación; pero creo que lo que querías decir es inversión o reflexión o simetría respecto del plano, ¿verdad?

Josele escribió:
Por otra parte, en ese mismo libro que citas, en la figura 17.15, pone 6 ejemplos de maclas de los cuales solo el primero es una verdadera macla, el resto yo diría que son agregados. Creo que tampoco lo son los ejemplos que pone en las figuras 17.16 (cubos en paralelo) ni la 17.17 (octaedros en paralelo).


Claro, parece que el libro es ya algo antiguo y no estrictamente mineralógico, sino también gemológico o con otros fines, por eso la nomenclatura quizá no es la que nosotros estamos manejando, y por eso os consulto sobre la validez de este grupo de dos tetraedros como macla. Pero ya me dices que sí. Muchas gracias.

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Josele




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MensajePublicado: 11 Ago 2013 13:10    Título del mensaje: Re: Maclas  

Una cosa que me llama la atención de esta macla del tetraedro: La operación de macla también podría ser un giro de 90º alrededor de cualquiera de los ejes cristalográficos, pero entonces, una vez girada la red cristalina 90º alrededor del eje a, del b o del c, coincidirá con la red original, ya que en el sistema cúbico un giro de 90º respecto a los ejes no altera la red cristalina.
Entonces parece que ambos individuos de la macla tienen la red en la misma orientación, o sea la misma red, o sea que ¡no hay macla! ¿Cómo se come esto?



tetrahedral twinning.jpg
 Descripción:
Los ejes cristalográficos pasan por la intersección de las aristas y por el centro de la figura. Si giramos uno de los tetraedros 90º alrededor de cualquiera de los ejes nos lleva a la posición del otro individuo.
Figura © TomZ / Shapeways
 Visto:  13394 veces

tetrahedral twinning.jpg



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MensajePublicado: 11 Ago 2013 20:50    Título del mensaje: Re: Maclas  

Bueno, en realidad la rotación de 90º para "pasar de un tetraedro al otro" no puede hacerse sobre cualquier eje, sino sobre ciertos ejes muy concretos: específicamente, ese eje que une los centros de dos aristas cruzadas (en cruce de 90º a ambos lados del sólido, rectas no paralelas y no secantes). En la figura que nos has puesto, dicho eje es aproximadamente vertical y pasa por el centro de inversión. Y dicho eje no es un eje cristalográfico porque no es paralelo a ninguno de los ejes "a", "b" o "c", por lo que no hay coincidencia de las redes cristalinas tras la rotación. Al menos así "a ojo", ¿no?.

Si queréis jugar con esta figura de dos tetraedros, llamada "Stella Octangula", podéis usar este enlace. Para que funcione hace falta algún tipo de script Java o algo parecido (como en el Crystal Atlas de Mindat). Puede que esta figura interactiva ayude a razonar.

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prcantos
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MensajePublicado: 11 Ago 2013 21:30    Título del mensaje: Re: Maclas  

prcantos escribió:
...Y dicho eje no es un eje cristalográfico porque no es paralelo a ninguno de los ejes "a", "b" o "c", por lo que no hay coincidencia de las redes cristalinas tras la rotación. Al menos así "a ojo", ¿no?


Vale, ya me acabo de dar cuenta de por qué dicho eje SÍ es un eje cristalográfico: basta inscribir la figura en el único cubo posible.

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Josele




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MensajePublicado: 11 Ago 2013 21:48    Título del mensaje: Re: Maclas  

prcantos escribió:
... En la figura que nos has puesto, dicho eje es aproximadamente vertical y pasa por el centro de inversión. Y dicho eje no es un eje cristalográfico porque no es paralelo a ninguno de los ejes "a", "b" o "c", por lo que no hay coincidencia de las redes cristalinas tras la rotación. Al menos así "a ojo", ¿no? ...

Creo que sí que lo es, los ejes cristalográficos del tetraedro van del centro de una arista al centro de la arista opuesta. Y los ejes son paralelos a la alineación de los átomos en las redes. Y como se trata de una red cúbica, un giro de 90º alrededor de cualquiera de los ejes vuelve a dejar la estructura en posición equivalente, entonces ¿dónde está la macla?
PD: perdón, no había visto el mensaje anterior al escribir esto.

Sé que es una macla pero no la entiendo...



tetratwin.jpg
 Descripción:
Macla de tetrahedrita [111] modificada
imagen © Smorf
Mineral: Tetrahedrite
Description: Penetration twin on [111]
Location: Cavnic (Kapnik), Romania
Author: C. Palache, H. Berman, C. Frondel, The system of mineralogy. Vol I, 7th edition, John Wiley & Sons, New York, 1944.
System: Cubic, point group: 43m
Cell: a: 1, b: 1, c: 1, alpha: 90, beta: 90, gamma: 90
 Visto:  13356 veces

tetratwin.jpg



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prcantos
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MensajePublicado: 13 Ago 2013 21:00    Título del mensaje: Re: Maclas  

Después de todo este acercamiento algebraico a las maclas y los agregados cristalinos es conveniente hacer una revisión de algunas definiciones de macla que encontramos en la literatura. Probablemente no será posible (o satisfactorio) dar una definición precisa de macla en términos estrictamente algebraicos, pero sí podemos discernir cuáles son los elementos indispensables para hablar de macla y cuáles los prescindibles, de forma que acotemos algo las posibilidades. Lo hago en el siguiente post.
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