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Apuntes de cristalografía geométrica - (46)
  
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Josele




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MensajePublicado: 20 Sep 2020 17:26    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Colección: Ciencias de la Tierra. Vol. 1. Nº 46

APUNTES DE
CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA


Un poco de Historia

La Revolución Industrial a principios del siglo XIX trajo consigo el auge de la minería y por ende el interés por el estudio de los minerales. La cristalografía adquirió una importancia capital para la identificación de los minerales. En un principio la cristalografía se basó en la morfología de los cristales y en sus características geométricas.
Ya a finales del siglo XVIII Romé de l’Isle enunció la Ley de los ángulos diedros que establecía la igualdad de los ángulos entre caras equivalentes de cristales de la misma especie independientemente de su hábito o desarrollo particular.
A principio del XIX Haüy enunció la Ley de la simetría que confirmaba que los cristales de una misma especie presentaban los mismos elementos de simetría, también independientemente de su hábito o forma concreta.
Fue también Haüy quien a partir del hecho de que al romper un cristal de calcita se obtienen romboedros de exfoliación sucesivamente más y más pequeños, dedujo que los cristales tenían que estar formados por una acumulación ordenada de minúsculos poliedros a los que llamó “moléculas constituyentes”, lo que hoy entendemos como “celda unidad”.



Simetría.jpg
 Descripción:
Las observaciones de Romé de l’Isle, Haüy, Weiss, Miller y muchos otros sentaron las bases para establecer una clasificación de los cristales basada en la simetría, definiendo los 7 sistemas cristalográficos y las 32 clases que los conforman.

El nº total de especies indica la cantidad de minerales en cada clase cristalina.
El nº de especies sin clasificar corresponde a los minerales de los que se conoce el sistema cristalino pero a los que aún no se les ha podido asignar una clase específica dentro de su sistema.

Llama la atención que el ejemplo mineral de la clase con menos simetría, la analcima, sea capaz de formar trapezoedros (icositetraedros) como los granates, que pertenecen a la clase con mayor simetría de la tabla. Como veremos mas adelante, se trata en realidad de pseudo-trapezoedros, aunque difícilmente distinguibles a ojo de un verdadero trapezoedro.

* Los símbolos Hermann-Mauguin subrayados representan ejes de roto-inversión.
 Visto:  1918 veces

Simetría.jpg



cubic symmetry.jpg
 Descripción:
Elementos de simetría de la clase hexoctaédrica del sistema cúbico, que es la holoédrica (la que tiene más elementos de simetría) de este sistema.

Arriba los ejes de simetría. A la izquierda los 3 ejes cuaternarios, en el centro los 4 ejes ternarios y a la derecha los 6 ejes binarios.
En este caso los tres ejes de simetría cuaternarios coinciden con los ejes cristalográficos.

Abajo los 9 planos de simetría.

Es muy ilustrativo coger un dado o cualquier objeto en forma de cubo y tratar de visualizar la posición de sus elementos de simetría. Cogiéndolo con dos dedos por el centro de dos caras opuestas tendremos los tres ejes cuaternarios pues dando una vuelta completa se repetirá cuatro veces la misma posición. Cogiéndolo por dos vértices opuestos y girándolo comprobaremos los ejes ternarios. Y cogiéndolo por el centro de aristas opuestas tendremos los ejes binarios.

Quien disponga de un modelo de octaedro puede tratar de hacer lo mismo, no le resultará tan fácil.
 Visto:  1915 veces

cubic symmetry.jpg


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Josele




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MensajePublicado: 21 Sep 2020 01:51    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Índices de Miller  

ÍNDICES DE MILLER

Los índices de Miller son un método para describir la orientación de las caras de un cristal respecto a sus ejes cristalográficos.

Los índices consisten en tres cifras:
- La primera representa la distancia de la cara al centro medida sobre el eje “a”.
- La segunda representa la distancia al centro sobre el eje “b”.
- La tercera la distancia en la dirección de “c”.
Cuando una cara no corta a un eje (que es lo mismo que decir que es paralela a él), el índice correspondiente a ese eje es 0.



{100}.jpg
 Descripción:
Como ejemplo para empezar, una forma simple del sistema cúbico. Supongamos que es un cubo de fluorita, cuya clase es la hexoctaédrica.

Los ejes se cruzan en el centro del cristal. En el sistema isométrico forman ángulos de 90º entre ellos. Las caras del cubo son perpendiculares a los ejes.

La cara frontal corta al eje “a” y no corta ni a “b” ni a “c”, por lo que sus índices serán (100). La cara de la derecha corta al eje “b” a la misma distancia que la anterior y no corta ni a “a” ni a “c” y sus índices serán pues (010). Siguiendo la misma lógica la cara superior será (001).

¿Porqué el índice que corta una cara es 1 y no 3 o 179? Pues porque no son medidas absolutas en µm, mm o lo que sea, son medidas relativas y en la cara de referencia se toma la unidad para simplificar.

La cara trasera es paralela a la delantera, por lo que tendrá los mismos índices pero con el correspondiente al eje "a" en negativo, lo que se anota como un 1 con un “palito” encima -un signo que no sé escribir en html por lo que en el texto pondré el signo menos (-) delante de los índices negativos.
 Visto:  1831 veces

{100}.jpg



{100} M.jpg
 Descripción:
Lo mismo se aplica al resto de caras, quedando los índices como en la figura.

Los índices se escriben entre paréntesis cuando representan a un plano o cara concreta del cristal.

Para representar al conjunto del poliedro –en este caso el cubo- se usan los índices entre llaves {---} de una cara que pueda trasladarse a la posición de todas las demás mediante operaciones de simetría propias de su clase cristalina. En el caso de la clase holoédrica (la de máxima simetría) del sistema cúbico, cualquiera de ellas cumple esta condición por lo que por convención se utiliza la (100). En efecto, si cogemos la cara (100) y aplicamos la simetría cuaternaria del eje “c” obtendremos el resto de caras en posición vertical, es decir, (010), (100) y (010). Cogiendo otra vez (100) y aplicando los dos planos de simetría que contienen al eje “b” y forman un ángulo de 45º con el eje “c” (cortando diagonalmente las caras laterales) obtendremos la cara superior y la inferior, con lo que ya tendremos el cubo completo, que queda definido por el símbolo {100}. Podríamos haber llegado al mismo resultado aplicando otros elementos de simetría.
Seguir aplicando el resto de elementos de simetría a la cara (100) solo serviría para repetir los seis planos del hexaedro o cubo, no aparecería ninguno con diferente inclinación.

Para representar una dirección cualquiera (un eje de simetría por ejemplo) se utilizan los índices de la cara o plano perpendicular a esa dirección encerrados entre corchetes [---]. Por ejemplo, la dirección del eje “a” quedaría definida por [100].

Para expresar los índices de forma genérica, sin referirse a caras en concreto, se utilizan tres letras: k para el índice correspondiente al eje “a”, h para el del eje “b” y l (ele) para el “c”, o sea (hkl).

CARA o PLANO sin especificar: (hkl)

POLIEDRO sin especificar: {hkl}

EJE o DIRECCIÓN: [hkl]
 Visto:  1829 veces

{100} M.jpg



{111} M.jpg
 Descripción:
Sigamos con otro ejemplo del sistema isométrico, el octaedro:
La cara superior derecha (frontal) corta los tres ejes a la misma distancia del centro por el lado positivo, por lo que sus índices serán (111). La inferior derecha corta al eje “a” y al “b” por el lado positivo y a “c” por el negativo. Sus índices serán pues (11-1). Siguiendo la misma lógica se indexan el resto de caras, todas ellas con tres “unos”, ya que todas cortan los ejes a la misma distancia, pero con un baile de negativos según su posición.
Igual que con el cubo, podemos construir un octaedro a partir de una sola cara aplicando los elementos de simetría propios de su clase cristalina, por lo que el octaedro queda definido por el símbolo {111}.
 Visto:  1831 veces

{111} M.jpg



P1.jpg
 Descripción:
Ahora vamos a hacerlo al revés, construyendo un cristal a partir del símbolo que lo representa, por ejemplo el rombododecaedro {110}.

El plano (110) cortará al eje “a” y al “b” a la misma distancia del centro y como el tercer índice es un 0 será paralelo al eje “c”.
El plano es por definición infinito, la imagen muestra un cuadrado contenido en ese plano con dos lados que intersectan con los ejes “a” y “b”.
 Visto:  1833 veces

P1.jpg



P2.jpg
 Descripción:
Aplicando a la cara anterior el plano de simetría que contiene a los ejes “a” y “c” –uno de los 9 planos de simetría de esa clase cristalina- obtendremos el plano (1-10):
 Visto:  1829 veces

P2.jpg



P4_a.jpg
 Descripción:
Aplicando al anterior diedro el plano de simetría que contiene a los ejes “b” y “c” obtendremos 4 planos que no cierran el espacio ni por arriba ni por abajo:
 Visto:  1831 veces

P4_a.jpg



P4_b.jpg
 Descripción:
Rotando los 4 planos anteriores 90º alrededor del eje “b” obtendremos:
 Visto:  1830 veces

P4_b.jpg



P4_c.jpg
 Descripción:
Rotando estos últimos 90º alrededor del eje “c” salen cuatro nuevos planos:
 Visto:  1831 veces

P4_c.jpg



P4x3_R_BN.jpg
 Descripción:
El dibujo me ha salido muy mal pero si intersectamos los 12 planos anteriores el resultado es un rombododecaedro, cuyo símbolo es {110}, obtenido aplicando unos pocos elementos de simetría a la cara (110).

Si siguiéramos aplicando otros elementos de simetría, incluso aplicándolos todos, no obtendríamos más que esos mismos 12 planos repetidos.
 Visto:  1834 veces

P4x3_R_BN.jpg



caras equivalentes.jpg
 Descripción:
Veamos qué pasa con los índices que no son ni 1 ni 0. En la figura de la izquierda el plano (110) corta al eje “b” a una distancia del centro que por convención hemos llamado 1. El otro plano corta a ese mismo eje a una distancia que es exactamente la mitad de 1, o sea, ½. Como los índices son inversamente proporcionales a la distancia de la cara al centro medida en el eje correspondiente, el índice en el eje "b" será el inverso de 1/2, o sea 2. Los índices de ese segundo plano serán pues (120). Si la distancia fuera la tercera parte los índices serían (130). Si fuera la cuarta parte, (140), y así sucesivamente.
Mas adelante veremos porqué los índices son siempre números enteros y en general pequeños.

Recordemos que los índices nos dan la orientación respecto a los ejes pero no su posición absoluta en el espacio. Quiero decir que cualquier plano paralelo al de unos índices determinados tendrá también esos mismos índices.
A la izquierda, los dos planos cortan al eje ”a” en el mismo punto, que es la posición en la que hay que comparar las distancias en el eje “b” de los dos planos.
A la derecha, un plano ha cambiado de posición manteniendo el paralelismo, por lo que sus índices son los mismos.

Con un poco de trigonometría se pueden calcular los ángulos de inclinación de las caras respecto a los ejes y viceversa, midiendo los ángulos con un goniómetro o un transportador de ángulos se pueden determinar los índices de las caras de un cristal real.
 Visto:  1811 veces

caras equivalentes.jpg


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Josele




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MensajePublicado: 21 Sep 2020 18:24    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Ley de racionalidad de los índices (Haüy, 1781)

Establece que los índices de Miller son siempre números enteros y en general pequeños. Veamos porqué:



cuadrícula a-c.jpg
 Descripción:
La intuición de Haüy y su hipótesis de que la materia cristalina está formada por un apilamiento ordenado de “moléculas constituyentes” (celdillas o celdas unidad) le indujo a pensar en que la inclinación de las caras no podía ser cualquiera sino que debía adaptarse a las posibilidades de apilamiento de las celdillas.

En la figura, la cuadrícula representa en dos dimensiones el apilamiento de celdillas del sistema cúbico. En realidad las celdillas son infinitamente más pequeñas pero para el caso es lo mismo.

La imagen representa el plano que contiene a los ejes “a” y “c”. El eje “b” es perpendicular al plano del dibujo. Las líneas representan planos perpendiculares al dibujo, todos ellos paralelos al eje “b”, por lo que el índice correspondiente a ese eje es siempre 0.

El plano (101) está alineado con celdillas escalonadas de una en una, es decir, como una escalera que tuviera la misma medida de salto que de huella.
El plano (102) sube una celdilla en vertical por cada dos celdillas en horizontal, por lo que cortará al eje “c” a la mitad de distancia del centro que el plano (101).
El plano (103) sube una celdilla en vertical por cada tres celdillas en horizontal, por lo que cortará a “c” a una distancia del centro que será la tercera parte respecto a (101).
El plano (104) sube una celdilla por cada cuatro en horizontal y cortará a “c” a la cuarta parte de distancia.
Y así sucesivamente…

Para indexar planos con mayor inclinación (líneas rojas) tomaremos como referencia el plano (101) y reduciremos la distancia en el eje “a”, lo que nos dará unos índices con el dígito correspondiente a ese eje progresivamente creciente al crecer la inclinación, tal como se ve en la figura. En (201) el plano sube dos celdillas por cada una en horizontal. El plano (301) sube tres por cada una en horizontal, etc.

Estos planos son en realidad "escaleras" con la huella de tamaño variable y los peldaños más o menos altos según la inclinación, pero por el ínfimo tamaño de los escalones las percibimos como planos.

Como las celdillas son indivisibles, estas "escaleras" no pueden tener una inclinación que suba fracciones de celdilla, por lo que las inclinaciones posibles deben ceñirse a números enteros de celdillas, lo que implica que las distancias al centro serán divisiones del 1 tomado como referencia cuyo divisor será siempre un número entero: un medio (1/2), un tercio (1/3), un cuarto (1/4), etc., por lo que su inverso (su índice de Miller) será también un nº entero: 2, 3, 4, etc.
 Visto:  1708 veces

cuadrícula a-c.jpg



CELDA UNIDAD.jpg
 Descripción:
Aunque en el fondo es lo mismo, el asunto es un poco más complicado cuando lo aplicamos a otros sistemas cristalinos. La celda unidad ya no es un cubo como en el sistema isométrico sino un paralelepípedo. Los parámetros de la celdilla no son siempre iguales ni los ángulos son siempre rectos.
La posición de las aristas de la celdilla determina la posición de los ejes cristalográficos.

En el centro, posición de los ejes en los distintos sistemas.

La tabla inferior indica la relación entre parámetros y ángulos de la celda unidad según el sistema cristalino.
 Visto:  1712 veces

CELDA UNIDAD.jpg


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Josele




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MensajePublicado: 22 Sep 2020 14:20    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Sistemas hexagonal y trigonal

Para estos sistemas se utilizan 3 ejes formando ángulos de 120º entre ellos en el plano horizontal (“a1”, “a2” y “a3”) y un eje vertical (“c”), 4 ejes en total. Los índices de Miller serán pues 4 cifras. Sin embargo, una de ellas es innecesaria ya que con solo 3 puntos queda definido un plano.



E_hexa (111).jpg
 Descripción:
La figura muestra un plano inclinado que corta al eje “a1” y al “a2” a la misma distancia, y al lado negativo del “a3” a una distancia mitad de la anterior (basta un poco de geometría básica para comprobarlo). También corta al eje “c” a la distancia de referencia. Sus índices serán entonces (11-21). Pero como que la orientación del plano ya queda definida por tres puntos contenidos en él, podemos prescindir del índice correspondiente a uno de los ejes "a". Por convección se prescinde del índice correspondiente al eje “a3”. Los índices de ese plano en versión abreviada serán pues (111), correspondientes a los ejes “a1”, “a2” y “c”.
 Visto:  1625 veces

E_hexa (111).jpg



E_hexa (101).jpg
 Descripción:
En este ejemplo el plano corta a “a1” y al lado negativo de “a3” a la misma distancia y es paralelo a “a2”. También corta a “c” a la distancia de referencia. Sus índices son (10-11), que en versión abreviada prescindiendo del índice correspondiente a “a3” queda (101).
 Visto:  1624 veces

E_hexa (101).jpg



{101}.jpg
 Descripción:
A partir del plano (101) anterior, aplicando operaciones de simetría propias de la calcita (clase hexagonal escalenoédrica del sistema trigonal) obtendremos un romboedro {101}.
Por ejemplo: rotando (101) un tercio de vuelta alrededor del eje de simetría ternario, que coincide con el eje cristalográfico “c”, obtendremos la cara (-111). Rotando ésta otro tercio de vuelta saldrá (0-11), que es la superior de la parte de atrás. Si a estas tres caras de arriba les aplicamos la simetría del centro saldrán las tres de abajo y ya tendremos el romboedro.
 Visto:  1622 veces

{101}.jpg



C unit cell.jpg
 Descripción:
La estructura de la calcita no es como el romboedro de exfoliación (en morado) sino que éste, como también el romboedro agudo (en verde), quedan integrados en la celda unidad (en amarillo).
 Visto:  1631 veces

C unit cell.jpg


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MensajePublicado: 23 Sep 2020 00:10    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Smorf Draw Tool  

HERRAMIENTA DE DIBUJO SMORF

La mayoría de esquemas de este hilo los he hecho con capturas de la página Smorf, una extensa “cristaloteca” muy útil para conocer los poliedros de los cristales.

Agradezco a Mark Holtkamp, creador de Smorf, que haya puesto su trabajo al alcance de todos y recomiendo a quien no lo haya probado que dedique un rato a crear cristales virtuales tridimensionales en esta impagable página. A expertos en programas de cristalografía les parecerá una tontería pero para “outsiders” o “aficionados pero no tanto” es una maravilla.

Además es fácil: https://www.smorf.nl/draw.php



{210}.jpg
 Descripción:
Se empieza seleccionando un mineral, por ejemplo Pirita. El grupo puntual y los datos de la celdilla aparecerán automáticamente.
En las casillas h k l ponemos los índices de Miller del poliedro que queramos, por ejemplo, el piritoedro {210}. Si no se saben los índices del poliedro que queremos poner, se puede consultar el mineral en cuestión en el enlace a Smorf que puse en primer lugar. Ahí están los poliedros y modificaciones más habituales con sus índices de Miller.

En “Distance” ponemos 1, le damos al botón “Draw cristal” y …¡ale hop!

Con el puntero se puede mover el cristal a voluntad.
 Visto:  1579 veces

{210}.jpg



{210}{111}.jpg
 Descripción:
Resulta muy instructivo ver el resultado de intersectar poliedros.
Clicamos en “Add form” y aparecerán nuevas casillas donde pondremos los índices de otro poliedro, por ejemplo el octaedro {111}. En “Distance” de momento ponemos otro 1.
Botón “Draw cristal” y listo.
 Visto:  1578 veces

{210}{111}.jpg



{210}{111} D.jpg
 Descripción:
Se puede controlar la dominancia de uno u otro poliedro aumentando o disminuyendo el tamaño de las caras con los botones “Distance”.

Aquí he bajado un poco la "Distance" del octaedro {111} para hacer coincidir los vértices y que parezca que tiene simetría de orden 5.

Bajando “Distance” (distancia de la cara al centro) aumenta el tamaño de la cara y subiéndola disminuye el tamaño.

Esto me recuerda la paradoja de los cristales que han tenido un desarrollo asimétrico, las caras que vemos más grandes son la que han crecido menos (por eso están más cerca del centro) y las pequeñas son las que más han crecido, pudiendo llegar a desaparecer.
 Visto:  1578 veces

{210}{111} D.jpg



pyrite_5.jpg
 Descripción:
Se pueden añadir tantas formas como queramos.

Aquí un hipotético cristal de pirita combinación de 5 poliedros: octaedro {111}, piritoedro {201}, cubo {100}, rombododecaedro {101} y trapezoedro {211}.

El resultado puede guardarse en formato .jpg clicando en "Download image"
 Visto:  1575 veces

pyrite_5.jpg


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MensajePublicado: 23 Sep 2020 13:45    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Pseudo-octaedros  

PSEUDO-OCTAEDRO

Siempre me había preguntado cómo hacían algunos corindones afganos para disfrazarse de espinelas. La herramienta de dibujo de Smorf desveló el misterio:



ruby {111}.jpg
 Mineral: Corindón
 Localidad:
Jagdalek Mine, Surobi, Kabul, Afganistán
 Dimensiones: Cristal de 1,5 cm
 Descripción:
Cristal pseudo-octaédrico, aunque le sobra un hervor para estar al punto.

Foto © Rob Lavinsky
 Visto:  1508 veces

ruby {111}.jpg



{101}{001}.jpg
 Mineral: Corindón
 Descripción:
Formas combinadas de romboedro {101} y pinacoide basal {001}.

El corindón anterior mas bien se parece al de abajo a la izquierda.

De nuevo la paradoja del crecimiento de las caras. En la última figura las caras pinacoidales apenas han crecido y son enormes mientras que en la primera han crecido tanto que han desaparecido.
 Visto:  1505 veces

{101}{001}.jpg



ruby pseudo-octa.jpg
 Mineral: Corindón
 Descripción:
Arriba: Pseudo-octaedro combinación del romboedro {101} y el pinacoide basal {001} en posición clinográfica (con los ejes en posición normal) y vista cenital (en la dirección del eje “c”).

Centro: Captura de Smorf con el octaedro “de pié” y los ejes oblicuos.

Abajo: El pseudo-octaedro visto de un lado y de otro.
A la derecha hay un descuadre. La cara superior izquierda debería ser un poco más vertical. Y su opuesta abajo también.
 Visto:  1506 veces

ruby pseudo-octa.jpg



ruby octa.jpg
 Descripción:
Las caras que en la imagen anterior habría que inclinar un poco para lograr un octaedro perfecto en el sistema trigonal (¿otra paradoja?) son del romboedro {101}. Teniendo en cuenta la posición de esa cara respecto al eje “c”, inclinarla equivale a disminuir la distancia al centro del punto donde la cara corta al eje “c”, que a su vez equivale a aumentar el índice correspondiente a ese eje. La cara es la (101), si aumento el tercer índice a 2 me voy al romboedro plano {102} y se queda chato. Hay que inclinarla solo un poco, así a ojo diría ponerlo a 1,1 pero, lástima, los índices no pueden ser decimales. Sin embargo, hay otra forma de hacerlo. (101) equivale a (808) pues lo que define una cara es la proporción entre los índices, no su valor absoluto. Para inclinar la cara solo un poco, puedo decirle al programa que haga el romboedro a partir de (809).

Ahora es un octaedro cabal, con triángulos equiláteros en todas sus caras. Por muchas vueltas que le dé, no le veo fallo.
Aunque difícilmente será un cristal natural, pues la forma {809} es muy improbable.
 Visto:  1506 veces

ruby octa.jpg


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MensajePublicado: 24 Sep 2020 13:19    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Me he atrevido a abrir este hilo porque, como ya habréis visto, NO es un texto formal. No estoy capacitado para eso. De hecho, nunca estudié cristalografía. Por una serie de circunstancias extraordinarias que incluyeron la ocurrencia del ministro de educación de turno (1974) de cambiar el calendario universitario para que los cursos empezaran en enero (revocada seis meses más tarde), una convocatoria extraordinaria de exámenes finales de repesca en diciembre y la enfermedad del profesor titular, me encontré con la asignatura de cristalografía aprobada sin haberle visto la cara al profesor ni superado ningún examen.

Lo que a los veinte percibí como un pan caído del cielo se convirtió más tarde en una frustración.

Estos últimos años he tenido tiempo para aprender por mi cuenta las cuestiones que más me interesaban. Quizás porque lo tengo fresquito y porque no tengo un lenguaje académico haya sido capaz de explicarlo como para que se entienda. Por lo menos lo he intentado.



C_M.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Zona minera de La Florida, Herrería-Valdáliga-Rionansa, Comarca Costa Occidental/Saja-Nansa, Cantabria, España
 Dimensiones: Cristal: 4,5 cm
 Descripción:
Sin la ayuda de Smorf difícilmente hubiera podido reconocer las caras de este estupendo cristal de calcita donde puse los índices con 4 dígitos. Ahora se podría prescindir del tercer dígito para simplificar pero para identificar e indexar las caras dándole vueltas hasta marearlo resulta más fácil tener en mente todos los ejes.

En negro los índices del escalenoedro {211}. En blanco los del romboedro plano {012}. En amarillo los del prisma {100}. Hay también algunas pequeñas caras pertenecientes a otros poliedros que no están indexadas en la foto.

Cristal y esquema están más o menos en la misma posición cristalográfica.
El desarrollo asimétrico de las caras del cristal lo diferencia un poco del esquema teórico.

En el esquema los índices son del poliedro al que pertenecen las caras, no de las caras individualmente.

Tal como se ve en la “Distance” (1 en todos), el desarrollo de los distintos poliedros es equitativo.

Foto: Joaquim Callén
 Visto:  1401 veces

C_M.jpg


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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 25 Sep 2020 04:49    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Josele, te has explicado muy bien. Algunos que tuvimos la suerte de estudiar esta asignatura, no teníamos los medios tecnológicos que hay hoy en día, todo lo calculábamos con plantillas estereográficas, superponiendo un papel vegetal, girando el mismo con una aguja clavada en medio. Pintábamos los planos, y ejes de simetría, los polos...había que esforzarse para tener una imagen tridimensional de todo aquello. Hoy, ya existen herramientas como el fabuloso Smorf, que te ayuda muchísimo a identificar las caras cristalinas, aunque siempre acabamos recurriendo a los antiguos ejemplos de Goldschmidt del Atlas der Krystallformen. Dentro de la misma página de Smorf, hay una sección que es Cristal Shapes, donde se pueden ver ejemplos de aplicación, que en una red social lo comparan con cristales reales, como has hecho tú. La identificación de las caras y simetría de un cristal es un ejercicio que a menudo hago por placer, como el que se bebe un buen vino o se come un buen jamón, sólo se necesita, papel, lápiz y una goma. Aún con todos estos avances a veces me atasco con alguna cara de un cristal que no sé como diablos “se llama”.
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Josele




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MensajePublicado: 04 Oct 2020 17:23    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Biseles  

Emilio, ya me gustaría tener práctica en dibujar e interpretar los estereogramas, proyecciones estereográficas o como se llamen esos esquemas que permiten describir los cristales y sus elementos de simetría, pero los veo y como si fueran jeroglíficos.
Cuando tengas tiempo libre estaría bien que nos lo explicaras un poco.


BISELES

Los biseles* entre dos caras son fáciles de indexar pues sus índices de Miller son la suma de los índices de esas dos caras.

* Entendiendo por bisel, no cualquier cara oblicua sino la que forma ángulos iguales con las caras colindantes a ambos lados. O, lo que es lo mismo, la que es perpendicular a la bisectriz de las dos caras a ambos lados del bisel.



apaX3.jpg
 Mineral: Fluorapatito
 Localidad:
Nyet Bruk, Nyet Bruk, Valle Braldu, Distrito Shigar, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: Cristal: 2,5 cm
 Descripción:
Cristal con biseles entre las caras del prisma y la terminación pinacoidal.
Estos biseles son en realidad caras de la bipirámide hexagonal {101} asomando entre el prisma y el pinacoide basal.

También hay pequeños biseles entre las propias caras del prisma apenas apreciables en la foto.

Abajo:
En naranja los índices de las caras principales.
En rojo los índices de los biseles, suma de los índices de las caras contiguas.
 Visto:  1101 veces

apaX3.jpg



bisel_1.jpg
 Descripción:
Sección basal (perpendicular al eje “c” y paralela al plano que contiene a los ejes “a”).

En rojo un bisel entre las caras (1-10) y (100). En esas caras del prisma el primer índice es 1 en ambas porque cortan al eje “a1” a la misma distancia de referencia del centro. El bisel rojo es paralelo al plano representado por la línea discontinua, por tanto tendrá sus mismos índices. La línea discontinua corta a “a1” a la mitad de distancia del centro que las dos caras del prisma, es decir, a ½ de la distancia de referencia. Y como el índice es el inverso de esa distancia, pues será 2.

¿Porqué no se mide la distancia del bisel rojo al centro desde donde está dibujado allí en la esquina? Pues porque para medir la diferencia de inclinación entre dos planos mediante la distancia a la que cortan a los ejes hay que trasladar uno de ellos a un origen común situado a la distancia de referencia, que para esas caras son los vértices “-a2” y “-a3”.

Seguro que alguien podría explicar esto mucho mejor…
 Visto:  1098 veces

bisel_1.jpg



T_e.jpg
 Mineral: Topacio
 Localidad:
Shengus (Shingus), Distrito Baltistán, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: Cristal 5 cm de altura
 Descripción:
En el esquema, el bisel (111) entre la cara del prisma (110) y la terminación pinacoidal (001) tiene los índices sumados de los de las caras que bisela.

Las caras laterales al brillo (112) son biseles de biseles, o sea biseles de segundo orden, cuyos índices son también la suma de las caras colindantes (111) y (001).

La cara central al brillo (011) sería un bisel entre la terminación pinacoidal (001) y una inexistente cara frontal (010).
La pequeña cara triangular (021) biselaría a su vez a (011) y a la ausente (010).

Por cierto, esa inexistente cara frontal (010) sería un bisel entre las (120). Parece que aquí no salen las cuentas. Pero sí, teniendo en cuenta que la cara de la izquierda, aunque el esquema no lo dice, tiene el primer índice negativo. Entonces sumando (-120) y (120) resulta (040), que es paralela y equivale a (010).
 Visto:  1101 veces

T_e.jpg


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MensajePublicado: 07 Oct 2020 18:42    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

Tan solo precisar que tras sumar los índices de las caras contiguas para obtener los del bisel, siempre que se pueda hay que "reducir" el resultado dividiendo los índices obtenidos por su Máximo Común Divisor, lo que nos dará un plano paralelo y por tanto con la misma inclinación, equivalente.

VÉRTICES TRUNCADOS

Los vértices truncados siguen la misma lógica que los biseles. Sus índices de Miller son la suma de los índices de las caras que concurren en el vértice truncado.



C {021}{101}.jpg
 Descripción:
El resultado de sumar los índices de las caras superiores es 202. Dividiéndolos por su MCD obtendremos 101, que es la manera correcta de expresar ese plano.
 Visto:  998 veces

C {021}{101}.jpg



bisel {100}{111}.jpg
 Descripción:
A la izquierda un cubo {100} con los vértices truncados por el octaedro {111}. En el vértice concurren 3 caras cuyos índices sumados son los de la cara que trunca el vértice.

A la derecha un octaedro con los vértices truncados por el cubo. Aquí concurren 4 caras. La suma da (400), que equivale a (100).

En este caso la cara del truncamiento también puede verse como un bisel de 2 caras contiguas opuestas, cuyos índices sumados dan (200), que es lo mismo que (100).
 Visto:  265 veces

bisel {100}{111}.jpg



bisel 6.jpg
 Descripción:
La forma de la izquierda es una bipirámide hexagonal {111} de corindón truncada por el pinacoide basal {001}.

A la derecha la misma forma vista desde el eje"c" (desde arriba). Sumando los índices de todas las caras obtenemos (006), equivalente a (001).

Como también aquí el pinacoide bisela caras opuestas, la suma de los índices de caras opuestas dará los índices de la cara pinacoidal.
 Visto:  265 veces

bisel 6.jpg



P1080172.jpg
 Mineral: Almandino
 Localidad:
Stikine River, Wrangell Island, Wrangel City and Bourough, Alaska, USA
 Dimensiones: 3 x 3 x 3 cm
 Descripción:
Rombododecaedro modificado por el trapezoedro. En esta foto puede parecer un cubo modificado debido a la perspectiva del objetivo angular (24 mm).

Sumando los índices de dos caras rómbicas obtendremos los de la cara intermedia.

Y sumando los índices de las cuatro caras que rodean un rombo obtendremos los de esa cara rómbica después de reducir la suma dividiendo los índices por su máximo común divisor.

También obtendremos los índices de un rombo sumando los de dos caras colindantes opuestas y reduciendo el resultado.
 Visto:  256 veces

P1080172.jpg


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Josele




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MensajePublicado: 12 Oct 2020 16:27    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

MACLAS

Para determinar los índices de Miller en las maclas hay que tener en cuenta la posición de los ejes cristalográficos de cada uno de los individuos que forman la macla. En la mayoría de los casos es sencillo identificarlos pues los ángulos entrantes ayudan a diferenciar los individuos pero a veces no hay ángulos entrantes y la macla puede confundirse con un cristal simple como en los ejemplos que vienen a continuación:



P1200004 MI OK.jpg
 Mineral: Microclina
 Localidad:
Alchuri, Distrito Shigar, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: 10 x 8 x 6 cm
 Descripción:
Macla de Carlsbad sin ángulos entrantes. La operación de macla es una rotación de 180º en [001] (eje "c"). La ausencia de caras pertenecientes a la forma {-201} y el hecho de que las caras de uno y otro individuo coincidan en el mismo plano hace que se vea diferente de la típica macla de Carlsbad.
Si no fuera por la diferencia de brillo y textura esta macla podría confundirse con un cristal simple.

El plano de macla es en realidad un plano quebrado tal como puede verse en la foto.

Aunque estén en el mismo plano, las caras de uno y otro individuo tienen índices diferentes ya que la posición del lado positivo de los ejes "a" y "b" está invertida en uno respecto al otro.
 Visto:  736 veces

P1200004 MI OK.jpg



{012}{001} twin.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Cantera La Sambre, Landelies, Montigny-le-Tilleul, Provincia Hainaut, Región Valona, Bélgica
 Dimensiones: El cristal mide 2,5 cm
 Descripción:
Macla por rotación de 60º en [001] (eje "c") de dos cristales compuestos por el prisma {100} y el romboedro plano {012}.
El esquema muestra la misma combinación de prisma y romboedro pero SIN macla.

A pesar de la ausencia de ángulos entrantes, hay detalles que indican claramente que el cristal está maclado:
- La posición de las caras de los romboedros en las terminaciones, con caras y aristas alineadas, lo contrario de lo que ocurre en las terminaciones romboédricas del esquema.
- La forma de las caras del prisma, que en un cristal no maclado tendrían 5 lados como en el esquema y en el cristal maclado de la foto tienen 4 y 6 lados alternativamente.
- La aparición de un nuevo elemento de simetría que no existe en esa clase cristalográfica: un plano de simetría perpendicular al eje vertical.

El plano de macla es perpendicular al eje vertical y aunque no se aprecia en la foto tiene que estar a cierta altura del prisma.

El pequeño cristal justo a la derecha parece que también está maclado.

foto © Mark Holtkamp (https://www.mindat.org/photo-523666.html)
 Visto:  736 veces

{012}{001} twin.jpg


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MensajePublicado: 18 Oct 2020 17:07    Título del mensaje: Re: Apuntes de cristalografía geométrica - (46)  

ROMBOEDROS

Aquí vienen fotos de una calcita con una combinación de dos formas romboédricas muy extremas: una muy plana y otra muuuy empinada, casi un prisma, con uno de sus índices de Miller de dos cifras.
En el lado inglés hay un hilo que profundiza más en esta curiosa combinación de romboedros: Very steep rhombohedral calcite?



C_rr.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Región Autónoma Guangxi Zhuang, China
 Dimensiones: 9 x 6 x 5 cm
 Descripción:
Grupo de cristales de hasta 2 cm combinación de un romboedro plano {012} y otro muy agudo con índices cercanos a {0 16 1}
 Visto:  559 veces

C_rr.jpg



P1230023.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Región Autónoma Guangxi Zhuang, China
 Dimensiones: El cristal ambarino mide 15 mm
 Descripción:
El ángulo que forman las aristas largas es de 14º +/- 0,5º. Este ángulo es lo que me ha permitido aproximar los índices de ese romboedro.
 Visto:  558 veces

P1230023.jpg



P1230024.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Región Autónoma Guangxi Zhuang, China
 Dimensiones: Cristal: 20 mm
 Descripción:
Este es el mayor cristal de la pieza pero no lo he usado en las mediciones pues las caras del romboedro agudo (al brillo) tienen mucha textura y las aristas un poco renqueantes.
 Visto:  558 veces

P1230024.jpg


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MensajePublicado: 19 Oct 2020 14:05    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Celda calcita  

CELDA UNIDAD de la CALCITA

Aunque la relación de parámetros de la celda unidad de la calcita todavía aparece en muchos textos y bases de datos (entre ellos Mindat y Smorf) como a:c = 1:0,854, desde 1993(*) se sabe que en realidad es cuatro veces mayor, o sea a:c = 1:3,419, tal como hizo notar Amir Akhavan en el foro inglés
 (autor de la web The Quartz Page).

Como los índices de Miller están relacionados con esos parámetros, al haberse cuadruplicado el parámetro correspondiente al eje “c”, los nuevos índices de los cristales de calcita deberán modificarse respecto a los clásicos.

Mas arriba en este hilo puse un esquema de la celda unidad de la calcita
 donde se ve que la distancia del centro del romboedro de exfoliación -en morado en el esquema- a su vértice superior es la cuarta parte de la altura total de la celda aceptada actualmente (en amarillo).
En consecuencia, los índices del romboedro de exfoliación que antes eran {101} pasan a ser {104}. También varían los índices de todo el resto de formas excepto aquellas en las que las caras son paralelas o perpendiculares al eje “c”, o sea las del prisma y el pinacoide basal, que no se ven afectadas.


* Maslen, E.N., Streltsov, V.R., and Streltsova, N.R. (1993) X-ray study of the electron density in calcite, CaCO3. Acta Crystallographica B: 49: 636-641



{041}{018}.jpg
 Descripción:
El programa de dibujo de Smorf permite variar los parámetros de la celda unidad.

Con los nuevos parámetros, el índice "k" del romboedro superagudo de los cristales del anterior post ya no es de dos cifras. Como la altura de la celda nueva es cuatro veces mas grande que la vieja, el índice correspondiente será 4 veces menor, pasando de 16 a 4, por lo que esa forma que antes quedaba definida por el símbolo {0 16 1} ahora será {041}.

El índice correspondiente al eje "c" del romboedro plano de la terminación -antes {012}- con los datos viejos era 2. Ahora ya no es la mitad de alto que el la celda unidad -antes el romboedro de exfoliación- sino una octava parte, por lo que su índice será 8, quedando representado el romboedro plano por {018}.
 Visto:  506 veces

{041}{018}.jpg



P1230021.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Región Autónoma Guangxi Zhuang, China
 Dimensiones: CdV: 3 cm
 Descripción:
Todos los cristales de la muestra de estas fotos y las anteriores presentan la misma combinación de romboedros, con las caras del romboedro agudo brillantes aunque bastante texturadas y las terminaciones del romboedro plano muy lisas pero mates.

Por cierto, no deja de sorprenderme la capacidad de la calcita para captar, descomponer y reflejar la luz desde el interior, lo que facilita sacar bonitas fotos incluso de ejemplares muy normalitos.
 Visto:  505 veces

P1230021.jpg



P1230015.jpg
 Mineral: Calcita
 Localidad:
Región Autónoma Guangxi Zhuang, China
 Dimensiones: CdV: 3 cm
 Descripción:
Esta fue la primera foto que hice antes de limpiar la pieza con agua, jabón y un cepillo de dientes. Ya se nota ¿no?
 Visto:  506 veces

P1230015.jpg


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Josele




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MensajePublicado: 23 Oct 2020 13:21    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Dislocaciones  

DISLOCACIONES

Las redes cristalinas raramente son perfectas, aquí y allá las celdillas no encajan como deberían, creándose desequilibrios en los enlaces y distorsiones en la estructura. Normalmente las dislocaciones afectan a zonas pequeñas, quedan congeladas en el interior del cristal y pasan desapercibidas. A veces condicionan la posición de las inclusiones y crean espirales o formas curiosas que las revelan. Solo cuando ocurren de forma repetitiva en amplias zonas del cristal pueden apreciarse en la forma externa, dando como resultado cristales que renuncian a los planos y a las líneas rectas, toman formas impropias y no cumplen la simetría que les corresponde por su clase cristalina.

Aquí vienen tres ejemplos:



Ky3.jpg
 Mineral: Cianita
 Localidad:
Daha, Distrito Jajarkot, Karnali Pradesh, Nepal
 Dimensiones: 7,1 x 1,8 x 0,7 cm
 Descripción:
Los cristales de cianita, mineral asociado a zonas de subducción, aparecen ocasionalmente ondulados en la dirección del eje “c”. Estas ondulaciones se interpretan como deformaciones plásticas que tienen lugar a gran profundidad, a unos 750º de temperatura y muy alta presión (3,5 GPa), mediante una sucesión de pequeñas dislocaciones por desplazamiento de un frente de celdas paralelo al eje “b” que provoca un ínfimo cambio de inclinación en la capa siguiente y posteriores. Solo una gran frecuencia de estos pequeños saltos hará que la deformación se manifieste en la forma exterior, lo que únicamente ocurre cuando además de las extremas presiones mencionadas concurren también fuerzas de cizalla.

El bandeado horizontal (paralelo al eje "b") que se aprecia en la foto tomada de frente proviene del interior del cristal. Son reflejos ondulantes que quizás tengan que ver con las dislocaciones.
La caras son lisas, especialmente la frontal.

Ref:
Rachel J. Beane, Cathryn Field (2007) Kyanite deformation in whiteschist of the ultrahigh pressure metamorphic Kokchetav Massif, Kazakhstan. Journal of Metamorphic Geology 25(2):117 - 128
 Visto:  366 veces

Ky3.jpg



H+R_epi_1.jpg
 Mineral: Muscovita + hematita + rutilo
 Localidad:
Montes Haramosh, Distrito Baltistán, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: 6 x 4,5 x 1,5 cm
 Descripción:
Entre el rutilo hay varios pequeños cristales pseudohexagonales de mica completamente planos y uno de 12 mm que se eleva 5 mm sobre la hematita formando un domo.

La hematites y el rutilo epitáctico los dejaremos para otro día.
 Visto:  367 veces

H+R_epi_1.jpg



P1230129.jpg
 Mineral: Muscovita
 Localidad:
Montes Haramosh, Distrito Baltistán, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: Cristal de mica: 12 mm
 Descripción:
Domo de muscovita visto de lado.

Aquí no sirve la explicación de la pieza anterior. La deformación de un plano a una esfera requiere dislocaciones en varias direcciones. Estudios de ejemplares de mica esférica mediante técnicas topográficas de rayos X revelaron dislocaciones en el plano basal –el de exfoliación- en las tres direcciones de sus ejes cristalográficos debidas a tensiones desiguales en distintos puntos del cristal.

Ref:
(1) J. L. Caslavsky & K. Vedam (1970) The study of dislocations in muscovite mica by X-ray transmission topography, The Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical Experimental and Applied Physics, 22:176, 255-268
(2) Hölzer, G. & Wehrhan, O. & Heinisch, J. & Foerster, Eckhart & Pikuz, Tatiana & Faenov, A.Ya & Pikuz, SA & Romanova, Vera & Tatiana, Shelkovenko. (1998). Flat and Spherically Bent Muscovite (Mica) Crystals for X-ray Spectroscopy. Physica Scripta - PHYS SCR. 57. 301-309. 10.1088/0031-8949/57/2/029.
 Visto:  349 veces

P1230129.jpg



Tormic_V apa_twist.jpg
 Mineral: Fluorapatito
 Localidad:
Valle Tormiq, Distrito Baltistán, Gilgit-Baltistan (Áreas del Norte), Paquistán
 Dimensiones: 9 cm de altura
 Descripción:
Forma compuesta de un prisma {100} (¡helicoidal!) con terminaciones del pinacoide basal {001} ligeramente modificadas por la bipirámide hexagonal {101}.

La terminación superior está rotada unos 30º respecto a la inferior.

A diferencia de las dislocaciones frontales, donde la dirección de deslizamiento es perpendicular al frente, en las dislocaciones helicoidales la dirección de deslizamiento es paralela al frente de dislocación, generándose una deformación en espiral alrededor del punto de inicio.

Hay mucha literatura acerca de la mecánica de las “screw dislocations” a nivel estructural. Otra cosa es explicar el resultado macroscópico del fenómeno en casos concretos tan excepcionales como éste.

Ref: Makio Uwaha (2015) Handbook of Crystal Growth (Second Edition) 8.4.3 Spiral Growth with Screw Dislocations. Pag. 359-399

Foto por gentileza de ©Neal_Luppescu
 Visto:  351 veces

Tormic_V apa_twist.jpg


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MensajePublicado: 28 Oct 2020 16:37    Título del mensaje: Apuntes de cristalografía geométrica - (46) - Suplantaciones  

SUPLANTACIONES o PSEUDO-FORMAS

Las cosas son lo que son, no lo que parecen. Con el ejemplo de los corindones pseudo-octaédricos ya vimos más arriba cómo un mineral del sistema trigonal puede crecer en formas semejantes a las del sistema cúbico. Aquí viene otro ejemplo:



fluo_2.jpg
 Mineral: Fluorita
 Localidad:
Mina Xia Yang, Yongchun, Prefectura Quanzhou, Provincia Fujian, China
 Dimensiones: 6 x 5 x 4 cm
 Descripción:
Cubo {100} modificado por el rombododecaedro {101} visto desde la dirección de uno de los 4 ejes de simetría ternarios, que no coincide con ninguno de sus ejes cristalográficos.
 Visto:  134 veces

fluo_2.jpg



hema2.jpg
 Mineral: Hematita
 Localidad:
Congonhas (Congonhas do Campo), Minas Gerais, Brasil
 Dimensiones: 4 x 3,8 x 3 cm
 Descripción:
Romboedro {102} modificado por otro romboedro más plano {014} visto desde la dirección de su único eje de simetría ternario, que coincide con su eje cristalográfico “c”.
El ángulo entre las caras del romboedro pseudocúbico {102} (caras cuadradas) no es de 90º como en un verdadero cubo sino de unos 93,7º. Esos 3,7º de diferencia son suficientes para notarlos a ojo si nos fijamos bien pero pueden pasar desapercibidos a primera vista.
 Visto:  132 veces

hema2.jpg



A_MP.jpg
 Mineral: Analcima
 Localidad:
Mont Saint-Hilaire, La Vallée-du-Richelieu RCM, Montérégie, Québec, Canadá
 Dimensiones: 3 x 3 x 2,8 cm
 Descripción:
Cristal trapezoédrico {211} ligeramente modificado por el rombododecaedro {110}.

Aunque en teoría pertenece al sistema triclínico, los parámetros de su celda unidad son casi cúbicos y los cristales son indistinguibles a ojo de los del sistema cúbico.

A continuación traduzco lo que me ha parecido una buena explicación de su estructura:
El armazón de aluminosilicato de la estructura cristalina no cambia en absoluto de topología. La reducción de simetría se produce debido a ligeros cambios en el orden de los átomos de Si y Al y un ligero desmoronamiento del marco. Macroscópicamente, los cristales siempre tienen un aspecto pseudocúbico -aparte de la muy ligera birrefringencia distinta de cero y el fino maclado lamelar visible en el microscopio polarizador- porque el orden y el arrugado de la estructura ocurren en diferentes direcciones en diferentes laminillas, quedando disimulado al promediarse en todo el cristal. Por lo tanto, las diferencias son demasiado leves para merecer varios nombres de especies y la analcima es un ejemplo entre otros de minerales cuyas variedades pertenecen a diferentes sistemas cristalinos o grupos espaciales. La topología de su estructura cristalina y la máxima simetría posible de su estructura idealizada es lo que realmente importa. (Andy Christy, 2010)
 Visto:  86 veces

A_MP.jpg


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