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Representación de formas cristalográficas
  
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prcantos
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MensajePublicado: 31 Dic 2014 01:01    Título del mensaje: Representación de formas cristalográficas  

Hola. Ya casi al final del Año Internacional de la Cristalografía voy a preguntar acerca de un tema un poco técnico, pero os pido ayuda porque no lo encuentro claramente explicado en ningún lugar. La cuestión que me planteo es la siguiente: ¿cómo se justifica la clasificación de las formas cristalográficas que aparece expuesta en los libros de mineralogía o cristalografía?

El proceso puede ser el siguiente. Primero se clasifican los grupos puntuales de simetría del espacio tridimensional, que son 32 (la prueba, que no es simple, se encuentra en el libro y el artículo de Boisen & Gibbs Mathematical Crystallography). Con estos 32 grupos se construyen las 32 formas generales, que proceden de la aplicación de todos los elementos de cada grupo a la cara general (hkl) con los tres índices distintos y no nulos. (Por construcción se obtienen 32 formas, pero dos de ellas, el domo y el esfenoide resultan ser iguales, por lo que algunos autores las consideran una única forma llamada diedro).

Pero el problema está en las llamadas formas especiales: ¿cómo justificar que existen sólo las citadas? Éstas son especiales en el sentido de que existe alguna "ligadura" o relación de dependencia entre los índices: algunos iguales, algunos nulos. De ellas, seis son prismas, y las diez restantes pertenecen al sistema isométrico: trisoctaedro, trapezoedro, tetrahexaedro, deltoedro, tristetraedro, piritoedro, dodecaedro, cubo, octaedro y tetraedro.

Estas restricciones de las formas especiales tienen un significado geométrico que, según el Dana, consiste en que ciertas caras son paralelas o perpendiculares a los elementos de simetría (ejes y planos), lo cual no ocurre nunca en las caras con los tres índices distintos y no nulos, que corresponden a las formas generales.

Pero hay otro acercamiento que se encuentra en un antiguo artículo, el cual parece ser la única referencia que intentó abordar esta cuestión de una forma algo sistemática y que se cita casi invariablemente como la fuente de la que todos beben, pero que nadie discute: A. F. Rogers (1935), A Tabulation of Crystal Forms and Discussion on Forms Names, American Mineralogist v. 20, pp. 838-851. Rogers lanza una idea muy sugerente que encierra un gran poder constructivo para listar todas las formas posibles: las formas especiales se llaman formas "límite" porque "se obtienen a partir de las generales haciendo disminuir ciertos ángulos interfaciales". Por ejemplo, si "aplastamos" los vértices ternarios de un trisoctaedro, conseguiremos que estas "pirámides" disminuyan su altura hasta quedar planas en el límite, obteniéndose así el octaedro como forma límite del trisoctaedro. Pero el octaedro también puede obtenerse a partir del trapezoedro "aplastando" las zonas donde concurren tres trapecios (vértices ternarios). Y si lo que aplastamos en el trapezoedro es un vértice cuaternario, lo que obtenemos es un cubo y no un octaedro...

Quizá aquí se comprenda mejor lo que me pregunto: ¿cuáles son todas las maneras posibles de "aplastar" para pasar al límite y obtener, así, una forma nueva?

El modo más sencillo que se me ocurre para organizar esta gran variabilidad es emplear un diagrama triangular con coordenadas baricéntricas, es decir, lo mismo que se usa para clasificar las rocas ígneas y para estudiar las paragénesis metamórficas: un triángulo equilátero, en el que representaremos las distintas caras (o planos) mediante puntos, de forma que los vértices corresponden a los planos (100), (010) y (001). Los lados del triángulo contienen puntos con una sola coordenada nula, es decir, que representan planos en los que uno solo de los índices de Miller vale cero (si hay dos nulos, estamos en los vértices; y los tres no pueden ser nulos simultáneamente). En el interior del triángulo las medianas (segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto) representan planos en los que dos de los índices son iguales. El baricentro, punto de corte de las tres medianas, es el único punto con las tres coordenadas iguales, que, por tanto, representa al plano (111). El resto del área del triángulo corresponde, según lo dicho, a los planos (hkl) con todos los índices distintos y no nulos. En la figura 1 he representado puntos correspondientes a algunos planos importantes. En la figura 2 aparece el mismo triángulo dividido en zonas coloreadas según la forma cristalográfica que les corresponde en la clase diploide (grupo G=m3), que es la clase que usaré en los ejemplos que siguen.

Es inmediato comprender por qué este triángulo contiene todas las formas posibles {hkl}.

Esta manera de representar las formas ofrece muchas ventajas y proporciona mucha información.

Por ejemplo: podemos comprender que existen formas invariantes, univariantes y divariantes. Las primeras, formas invariantes, están representadas por puntos: los tres vértices, que son el cubo; los puntos medios de los lados, que son el dodecaedro; y el baricentro, que es el octaedro. En estas formas invariantes no hay posibilidad de modificar los índices, y se tiene que los ángulos interfaciales son constantes.

Las formas univariantes son las que caen sobre las líneas del triángulo (lados y medianas). Moviéndonos por estas líneas podemos modificar los ángulos interfaciales, en el sentido que decía Rogers, sin cambiar de forma cristalográfica. Se obtienen así piritoedros (positivos y negativos), trisoctaedros y trapezoedros con distinto grado de "achatamiento".

Por último, las formas divariantes son las que caen en las áreas internas del triángulo delimitadas por las líneas anteriores. En estas áreas podemos movernos (cambiando los índices) con dos grados de libertad para recorrer toda la zona. Se obtienen así los distintos diploides positivos y negativos, que son, por cierto, la forma general.

En cuanto a los límites en el sentido de Rogers, son también fácilmente visualizables en esta representación. En la figura 3 he dibujado una trayectoria en el diagrama triangular partiendo del cubo {100} (situado en el vértice inferior izquierdo y marcado con un 1). Si modificamos los índices para avanzar por el lado del triángulo, iremos obteniendo distintos piritoedros hasta llegar al marcado con un 2. Si proseguimos, alcanzaremos el punto 3, de coordenadas {110}, que es un dodecaedro. Este dodecaedro será la forma límite del piritoedro anterior. Del dodecaedro 3 podemos salir mediante muchas trayectorias, por ejemplo hacia la zona del diploide 4, para llegar al trapezoedro 5, como una de las formas límites del diploide, y alcanzar finalmente el octaedro 6 como forma límite del trapezoedro. En la figura 4 he representado las estaciones de esta trayectoria con algunas formas intermedias.

Siguiendo otras trayectorias se pueden calcular muchos otros límites: así, el octaedro se puede obtener como forma límite del trisoctaedro (por la línea morada), del trapezoedro (por la línea rosa), o del diploide (por la zona divariante gris). Asimismo, el dodecaedro no puede alcanzarse más que de tres formas: como límite de los piritoedros, de los trisoctaedros o de los diploides, pero nunca se podrá obtener el dodecaedro como límite de un trapezoedro (es imprescindible pasar por al menos una forma intermedia distinta).

Creo que esta representación es muy útil e intuitiva. Ayuda a estudiar el problema que me planteo, pero no lo resuelve. Digamos que, en términos gráficos, lo que quiero razonar es por qué usamos esas líneas divisorias y no otras. Seguiré pensando en este tema.

Probablemente alguien podrá pensar: ¿y cuál es concretamente la pregunta de Pablo? Bueno, la verdad es que plantear bien la pregunta es parte esencial de la solución del problema... Estoy convencido de que si jugáis un poco con estos diagramas, alguien podrá orientarme hacia la solución.



figura1.jpg
 Descripción:
Diagrama triangular para coordenadas baricéntricas con los puntos correspondientes a algunos planos importantes.
 Visto:  10155 veces

figura1.jpg



figura2.jpg
 Descripción:
Diagrama coloreado según las zonas que ocupan las distintas formas de la clase diploide.
 Visto:  10133 veces

figura2.jpg



figura3.jpg
 Descripción:
Una trayectoria que pasa por formas invariantes, univariantes y divariantes.
 Visto:  10156 veces

figura3.jpg



figura4.jpg
 Descripción:
Las formas visitadas en la trayectoria de la figura anterior con algunas formas intermedias. ATENCIÓN: donde dice "trisoctaedro" debe decir "trapezoedros" (disculpad la errata).
 Visto:  10149 veces

figura4.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Josele




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MensajePublicado: 31 Dic 2014 19:36    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Aunque me cuesta seguirlo y no he tenido tiempo para entenderlo bien -lo leeré con mas tranquilidad "el año que viene"- me parece muy interesante y sugestivo este modo de abordar el tema mediante esquemas triangulares. Es una buena manera de representar las distintas formas a partir de sus caras generatrices en 2D, sin tener que imaginar los ejes cristalográficos en 3D.

Si representáramos todas las caras posibles, los lados del triángulo serían una alineación de puntos separados pues, a diferencia de los porcentajes minerales de los diagramas utilizados con las rocas, por razones de nivel molecular los índices de Miller son siempre números enteros.

Entre las formas del sistema cúbico generadas "aplastando" ciertas caras de otra forma anterior podríamos añadir el tetraedro, que resultaría, si no me equivoco, de "aplastar" los vértices ternarios del dodecaedro.
Por cierto, el tetraedro, también {111}, iría en el centro del triángulo, confundiéndose con el octaedro.

Quizás no he dicho mas que tonterías, al fin y al cabo es nochevieja ...que lo paséis bien.

Saludos.

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Josele
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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 31 Dic 2014 20:39    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Pablo, creo que la clasificación de las formas cristalográficas obedece a la organización en esas formas, según los elementos, moléculas, en función de sus afinidades, químicas y físicas para poderse combinar entre ellos, al final salen los que salen y no hay que darles mas vueltas. Me voy a cenar, que ya está bien la preguntita y el discursito que nos has hecho para fin de año. Feliz Fin de año a todos.
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prcantos
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MensajePublicado: 01 Ene 2015 19:19    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Josele, has hecho dos comentarios muy interesantes.

Josele escribió:
Entre las formas del sistema cúbico generadas "aplastando" ciertas caras de otra forma anterior podríamos añadir el tetraedro, que resultaría, si no me equivoco, de "aplastar" los vértices ternarios del dodecaedro.
Por cierto, el tetraedro, también {111}, iría en el centro del triángulo, confundiéndose con el octaedro


No hace falta añadir el tetraedro, porque sale solo cuando le toca ;-) Lo que ocurre es que el diagrama triangular hay que repetirlo para cada clase de simetría. El tetraedro está generado por la cara (111) mediante los grupos -43 y 23, en los cuales el octaedro no es posible; éste, en cambio, está generado también por la cara (111) pero necesitamos los grupos m3m, 432 y m3, en los que no aparece el tetraedro. Por tanto ambos ocuparán el baricentro de sus respectivos diagramas, pero no a la vez, ni confundiéndose, ni teniendo que añadirlo a posteriori. En la figura 5 he construido el diagrama para la clase hextetraédrica (G = -43), con el tetraedro en el centro. Pero al hacerlo me he dado cuenta de que tengo que afinar más para ver qué ocurre con las caras de índices negativos, que caen fuera del triángulo, y sus formas asociadas. Este punto hay que pensarlo bien para no perder casos.

Josele escribió:
Si representáramos todas las caras posibles, los lados del triángulo serían una alineación de puntos separados pues, a diferencia de los porcentajes minerales de los diagramas utilizados con las rocas, por razones de nivel molecular los índices de Miller son siempre números enteros


Bueno, en realidad el tratamiento algebraico no conoce estas restricciones. Aquí trabajamos con todos los posibles planos del espacio real R^3, incluso aquellos que no son representables con índices enteros o racionales, y que nunca aparecerán en los minerales. Pero no pasa nada. Es mucho más fácil operar con el sistema completo, aun sabiendo que al aplicarlo a los cristales sólo será posible una parte de esos planos. Por eso lo que dice Emilio, aun siendo totalmente cierto en los cristales reales, aquí no nos sirve. Servirá para explicar por qué cada especie mineral se rige por un determinado tipo de simetría, o muestra preferencia por ciertas caras y ciertas formas. Pero aquí no es útil porque estamos trabajando con formas geométricas abstractas. No intervienen átomos, moléculas, redes cristalinas ni nada de eso. Los únicos ingredientes que manejo aquí son los grupos de simetría y los planos del espacio R^3. Lo que estoy pensando últimamente es si esas formas que la Naturaleza produce y que los investigadores han listado tienen una justificación matemática más allá de su propia realidad física (molecular, mineralógica...), y cómo se justifica.



figura5.jpg
 Descripción:
Diagrama de formas para la clase hextetraédrica (también del sistema isométrico) Sólo aparecen los casos generados por caras de índices positivos. Ahora las formas univariantes son : cubo, dodecaedro y tetraedro; las divariantes, tetrahexaedros, tristetraedros y deltoid-dodecaedros; y las divariantes, los hextetraedros.
 Visto:  9821 veces

figura5.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 18 Ene 2015 20:54    Título del mensaje: Re: Clasificación de formas cristalográficas - Ejemplo G=4  

Intentaré dar un paso más en el problema de la obtención sistemática de las formas cristalográficas. Las herramientas que he escogido son, una vez más, las matrices cuadradas de orden 3. Esta elección obedece a la siguiente idea: puesto que los grupos de simetría puntual están formados por movimientos rígidos (operaciones de simetría) del espacio, y éstos tienen su representación matricial, ¿será posible "resumir" de algún modo toda la simetría del grupo en una sola matriz?

Por ahora no tengo una respuesta total al problema, pero he podido encontrar soluciones parciales construyendo esa matriz mencionada para algunos grupos concretos. Los grupos que aún se resisten son los correspondientes al sistema isométrico, más complejos en su estructura y con mayor número de elementos.

Voy a presentar ahora un ejemplo sencillo correspondiente a un grupo cíclico (generado por un elemento). Tomemos el grupo G=4, también llamado clase piramidal tetragonal, que pertenece al sistema tetragonal. Este grupo cíclico de cuatro elementos está generado por la rotación de eje Z y ángulo de 90º (llamemos ρ a este elemento). Por tanto, G = {1,ρ,ρ^2,ρ^3}, donde 1 es la identidad (notemos que ρ^4=1 por ser una rotación respecto de un eje cuaternario).

Para simplificar los cálculos podemos suponer que los tres ejes de simetría son iguales aunque estemos en el sistema tetragonal (la longitud del tercer eje no afecta a la simetría ni a los cálculos que vamos a realizar). En estas condiciones es fácil construir la matriz M de la rotación respecto de la base canónica de vectores positivamente orientada B_0 (ver figura 6).

Construyamos ahora otra matriz A cuyas columnas son (h,k,l) (un vector genérico), ρ(h,k,l) y ρ^2(h,k,l) (ver figura 6). Esta matriz, que contiene como columnas la cara general (h,k,l) y dos de sus imágenes por elementos de G, es la matriz que, de alguna manera, tendría que resumir la simetría del grupo G.

Así, la matriz A es, en realidad, una familia triparamétrica de matrices, y lo que vamos a hacer es estudiar su rango en función de los parámetros h,k y l. Esta discusión es un ejercicio clásico del álgebra lineal, y en este caso es muy sencilla (ver figura 7). Como resultado de esta discusión obtenemos los casos reflejados en la figura 8: aparece la forma general {hkl} (pirámide tetragonal) asociada a las matrices de rango 3, la forma especial {hk0} (prisma tetragonal) asociada a las matrices de rango 2, y la forma especial {00l} (pedión) asociada al rango 1.

Este resultado se puede representar en el diagrama triangular que presenté antes (figura 8), aunque parece oportuno cambiar el orden de los índices (poniendo h y k abajo y l arriba, por estar éste último asociado al eje vertical Z). Observamos que la forma general asociada al rango 3 ocupa el área del triángulo (forma divariante); el prisma, asociado al rango 2, ocupa la base del triángulo (forma univariante); y el pedión, asociado al rango 1, queda reducido a un punto y es una forma invariante.

Estas son todas las formas posibles para esta clase de simetría, resultado que coincide con lo que podemos leer en el Dana: "La forma general {khl}, una pirámide tetragonal [...] pediones y prismas tetragonales también pueden estar presentes" (C. Klein, C. S. Hurlbut Jr., Manual of Mineralogy (after James D. Dana), 1993, p. 81).

Llegados a este punto podemos preguntarnos qué ocurre si elegimos la matriz A a partir de otros elementos, por ejemplo ρ(h,k,l) , ρ^2(h,k,l) y ρ^3(h,k,l) (la otra elección posible en este caso). Llamemos B a esta matriz alternativa construida con ρ, ρ^2 y ρ^3. Es inmediato comprobar que B=M^(-1).A, donde M^(-1) es la matriz inversa de M, que corresponde a la rotación de eje Z y ángulo de 90º en sentido contrario al de ρ. Tomando determinantes en la relación anterior y teniendo en cuenta que el determinante de M es 1 (por ser ρ una isometría), tenemos que det A = det B, por lo que la discusión de rangos es idéntica en ambas matrices, obteniéndose las mismas formas en los mismos casos.

La pregunta fundamental que nos encontramos aquí es la siguiente: ¿cómo construir en general una matriz que resuma la simetría del grupo y nos permita obtener todas las formas posibles? En el caso del grupo cíclico ha sido sencillo, pero aún no sé cómo hacerlo en el caso de los grupos del sistema isométrico. Además es conveniente que el proceso de construcción de la matriz sea generalizable a un caso cualquiera, incluso a dimensiones arbitrarias. Seguiremos pensando.

En el siguiente mensaje pondré otro ejemplo que también he podido resolver ya, y que involucra un grupo con una estructura algo más compleja.



figura6.jpg
 Descripción:
Construcción de la matriz A que intenta recoger toda la simetría del grupo.
 Visto:  9569 veces

figura6.jpg



figura7.jpg
 Descripción:
Discusión de los rangos. Nótese las tres formas obtenidas y representadas son formas abiertas: un plano infinito, y el prisma y la pirámide sin bases.
 Visto:  9591 veces

figura7.jpg



figura8.jpg
 Descripción:
Representación triangular (el tercer índice va ahora en el vértice superior).
 Visto:  9575 veces

figura8.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 19 Ene 2015 15:54    Título del mensaje: Re: Clasificación de formas cristalográficas - Ejemplo G=4/m  

Vamos con otro ejemplo. Sea ahora G=4/m, el grupo de simetría puntual correspondiente a la clase tetragonal dipiramidal, también en el sistema tetragonal. Este grupo tiene ocho elementos entre los que se incluye la simetría plana σ respecto del plano z=0.

Algebraicamente este grupo se puede describir como un producto semidirecto del grupo H=4 (el cíclico generado por ρ, con la misma notación del mensaje anterior) y del grupo generado por la simetría plana. Así, el grupo se puede definir como G = ρ·σ={1,ρ,ρ^2,ρ^3,σ,σρ,σρ^2,σρ^3}, donde · denota el producto semidirecto de los grupos generados por ρ y σ.

Para construir la matriz A que recoja la simetría del grupo usaremos los dos elementos fundamentales ρ y σ. La matriz de la rotación ρ es la misma que en el mensaje anterior (con el mismo convenio sobre la elección de los ejes); llamemos S a la matriz de la simetría σ en la base canónica (ver figura 9). Construimos por columnas de la siguiente forma (ver figura 9): la cara genérica (h,k,l), su imagen por la rotación ρ(h,k,l), y su imagen por la simetría σ(h,k,l). La clasificación de esta familia de matrices por rangos es parecida al ejemplo anterior (ver figura 10).

Las formas obtenidas son: el pinacoide {00l} para rg(A)=1, el prisma tetragonal {hk0} para rg(A)2, y la dipirámide tetragonal {hkl} (que es la forma general) para rg(A)=3. En la figura 1 aparece la representación en el diagrama triangular.



figura9.jpg
 Descripción:
Matrices que usaremos en este ejemplo.
 Visto:  9524 veces

figura9.jpg



figura10.jpg
 Descripción:
Discusión de rangos y formas obtenidas.
 Visto:  9499 veces

figura10.jpg



figura11.jpg
 Descripción:
Representación en el diagrama triangular.
 Visto:  9497 veces

figura11.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 19 Ene 2015 19:52    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Pablo, gracias por tus demostraciones, que me las leo con detenimiento (hasta donde puedo) y por intentar divulgar en el foro la cristalografía, que no todo son colecciones y ¿esto que es?.

Y ahora un comentario; la solución de la representación mediante diagramas triangulares está bien y es intuitiva, pero creo que es más eficaz la tradicional mediante proyección estereográfica, al menos para mí, ya que da una idea espacial de la forma mucho más visual, además de los polos de las caras puedes representar lo planos de simetría y los ejes lo que proporciona mucha mas información a la representación.
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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 19 Ene 2015 20:11    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Pablo, como me haces repasar los apuntes de hace 32 años, mira que he encontrado, en papel vegetal (para que se pudiera pintar sobre la plantilla estereográfica).


4m.JPG
 Mineral: Tetragonal
 Descripción:
 Visto:  9459 veces

4m.JPG


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prcantos
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MensajePublicado: 19 Ene 2015 20:53    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Vaya, me alegra que estés interesado en estos temas y que revises tus materiales.

Estoy de acuerdo contigo: la representación mediante estereogramas es mucho más fiel al aspecto de cada forma que la representación triangular. La triangular, en cambio, hace abstracción de los elementos de simetría (que quedan exclusivamente en el grupo); por eso creo que la triangular es más simple para la clasificación, aunque más oscura para mostrar el aspecto. Podríamos decir que la representación estereográfica está "centrada en las caras" (en cuanto a su intención), mientras que la triangular está "centrada en las formas": los puntos en la estereográfica representan, en definitiva, planos (sean caras, planos de simetría...), mientras que los puntos en la triangular representan formas completas.

Hablando de fuentes... Ya viene para casa un libro antiguo que he descubierto por Internet y que parece tener alguna sección que se ocupa precisamente de la clasificación de las formas cristalográficas de manera sistemática. No lo hace mediante matrices, sino mediante el estudio de los vectores normales a las caras. Ya os contaré cómo soluciona el problema. Es M. J. Buerger, Elementary Crystallography: an Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals, New York 1956.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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MensajePublicado: 19 Ene 2015 21:21    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Es que es más fácil trabajar con puntos que con planos, el polo es el punto de intersección de la normal del plano con la esfera. Seguramente van por ahí los tiros del libro. En geología estructural se trabaja mucho con este tipo de proyecciones, sobre todo para el cálculo de estabilidad de taludes. Hay aplicaciones para teléfonos, donde orientas el teléfono paralelo a un plano y te da su orientación, te graba la notación y te lo pone con coordenadas, pudiendo posteriormente llevarlo a una proyección estereográfica. ¡Al final no sabremos utilizar las brújulas con tanto invento!
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prcantos
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MensajePublicado: 20 Ene 2015 17:47    Título del mensaje: Re: Clasificación de formas cristalográficas  

Antes de comparar un poco más detalladamente las dos representaciones, según las sugerentes observaciones de Emilio, voy a poner el tercer ejemplo que funciona con esta elección de las matrices, el grupo G=-4 (clase disfenoidal tetragonal).

Este grupo es también un grupo cíclico; está generado por el elemento ρi, donde i es la inversión y ρ es la misma rotación de los casos anteriores. La matriz de la inversión en la base canónica es la opuesta de la matriz identidad. El grupo se puede dar por extensión como G={ρi, (ρi)^2=ρ^2, (ρi)^3=ρ^3i, (ρi)^4=1}. La discusión es en todo análoga a los ejemplos anteriores (ver figura 12), obteniéndose como formas especiales el prisma tetragonal (rango 2) y el pinacoide basal (rango 1), y como forma general el disfenoide tetragonal (rango 3). La representación triangular también es análoga (figura 13).

Hasta aquí hemos comprobado la validez de esta elección de matrices con ejemplos tomados de las tres importantes familias en que se dividen los grupos puntuales de simetría: los grupos propios (con G=4 como ejemplo), los grupos impropios centrosimétricos (con G=4/m como ejemplo) y los grupos impropios no centrosimétricos (con G=-4 como ejemplo). Aunque no lo he comprobado por ahora en otros casos, es de esperar que el método sea igualmente válido en los demás grupos monoaxiales, pues tienen la misma estructura algebraica. El estudio de los grupos poliaxiales (los cinco grupos del sistema isométrico) va a necesitar un estudio específico... y más complicado.



figura12.jpg
 Descripción:
Discusión de rangos para el grupo G=-4.
 Visto:  9323 veces

figura12.jpg



figura13.jpg
 Descripción:
Representación triangular de las formas del grupo G=-4.
 Visto:  9320 veces

figura13.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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MensajePublicado: 22 Ene 2015 12:06    Título del mensaje: Re: Representación de formas cristalográficas  

Emilio Téllez escribió:
...Y ahora un comentario; la solución de la representación mediante diagramas triangulares está bien y es intuitiva, pero creo que es más eficaz la tradicional mediante proyección estereográfica, al menos para mí, ya que da una idea espacial de la forma mucho más visual, además de los polos de las caras puedes representar lo planos de simetría y los ejes lo que proporciona mucha mas información a la representación.


Voy a intentar mostrar una comparación entre estas dos representaciones: la proyección estereográfica y el diagrama triangular con coordenadas baricéntricas.

Como bien dice Emilio, la proyección estereográfica es mucho más visual porque recoge dentro de un círculo los principales elementos de las formas cristalográficas: caras del poliedro y planos y ejes de simetría. Intuitivamente se parece mucho a tomar una de las mitades del poliedro y "aplastarla" contra el plano del papel.

En la figura 14 he puesto la esfera unidad de la representación estereográfica, el polo norte (punto rojo), el plano ecuatorial donde se dibujará la representación, y los puntos correspondientes a las caras del diploide (son la intersección entre la esfera y las rectas normales a las caras que pasan por el origen). Las rectas que unen el polo norte con los puntos azules cortarán al plano ecuatorial precisamente en los puntos que constituirán la representación estereográfica del poliedro (puntos azules de la figura siguiente).

En la figura 15 he dibujado un diploide (forma general correspondiente al grupo G=m3) y su representación estereográfica. En el centro he superpuesto la representación al poliedro, haciendo coincidir los ejes ternarios (marcados con triángulos negros) con los vértices ternarios del diploide. Las caras están marcadas con puntos azules, y los ejes binarios con segmentos negros. La circunferencia negra corresponde al plano ecuatorial de simetría o mirror. Las líneas punteadas corresponden a otros planos que, en esta figura, no son elementos de simetría.

La figura 16 es el diagrama triangular de la clase G=m3, a la que pertenece el diploide. Cada punto del triángulo representa una elección de los índices {hkl} y, por tanto, una posible forma. Moverse por el triángulo equivale a variar los ángulos interfaciales del poliedro. Dentro de cada zona, la forma cambia de aspecto, pero no de tipo; cambiará a otra forma cuando llegue a tocar las líneas o los puntos que delimitan la zona (salvo las formas univariantes, que están representadas por puntos y son invariables). Cerca del vértice k, que corresponde al cubo, he representado el diploide {0'9 0'1 0'2}, que tiene ciertos ángulos diedros tan cercanos a 180º que casi parece ya un cubo.

Creo que ahora se aprecia bien lo que yo apuntaba antes: la representación estereográfica representa muy bien cada forma concreta, como señalaba Emilio, mientras que el diagrama triangular permite visualizar mejor no las formas concretas, sino las familias de formas y las relaciones que se dan entre ellas según la idea de Rogers de variar los ángulos interfaciales. De todas formas, y aunque realmente las dos representaciones ofrecen grandes ventajas, en el libro de Buerger que cité antes hay algún momento en que también llega a representar las familias de formas (o algo parecido) mediante la proyección estereográfica. Ya os contaré.



figura14.jpg
 Descripción:
Puntos del diploide sobre la esfera unidad.
 Visto:  9203 veces

figura14.jpg



figura15.jpg
 Descripción:
El diploide {123} y su representación estereográfica. Los puntos que quedan dentro de la circunferencia corresponden a las caras del hemisferio sur; las de hemisferio norte quedan fuera de la circunferencia. Lo que se suele hacer en estos casos es representarlas dentro con puntos vacíos.
 Visto:  9234 veces

figura15.jpg



figura16.jpg
 Descripción:
Una familia de diploides en el diagrama triangular de coordenadas baricéntricas.
 Visto:  9231 veces

figura16.jpg



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