FMF - Foro de Mineralogía Formativa

[prcantos]

¿Cuántas redes de Bravais existen? ¿Cuántos sistemas cristalinos hay? ¿Por qué ciertas formas cristalinas son comunes en unos minerales, pero son imposibles en otros? ¿Cuáles son las diferentes clases de simetría para los cristales?

A pesar de que las respuestas a estas y otras preguntas son bien conocidas por los aficionados a los minerales y los iniciados en cristalografía, su demostración rigurosa suele faltar en la mayoría de los libros y textos sobre la materia. El libro que os presento aquí viene a solventar esta ausencia: "Mathematical Crystallography: an introduction to the mathematical foundations of crystallography", de M. B. Boisen Jr. y G. V. Gibbs, Mineralogical Society of America, 1985 (primera edición), 1990 (edición revisada).

En realidad esta obra no es tanto un libro de mineralogía o de cristalografía como un texto de álgebra, que requiere conocimientos de matemática superior. Las herramientas que usa son el álgebra lineal, el cálculo matricial y la teoría de grupos. Su objetivo principal es el estudio y la clasificación de los grupos cristalográficos. Un grupo cristalográfico es un grupo de isometrías que dejan globalmente invariante un retículo. En otras palabras "más cristalográficas", es el conjunto de "operaciones de simetría" que llevan la red cristalina a otra posición de la misma coincidente con la original, aunque los puntos hayan cambiado de lugar; dicho conjunto de operaciones de simetría tiene una estructura de grupo respecto de la composición, lo que permite someterlo al formalismo algebraico de la teoría de grupos; además, puesto que las isometrías de los espacios vectoriales pueden representarse mediante matrices cuadradas, el estudio de los grupos cristalográficos puede "linealizarse", valiéndose entonces de esa poderosa herramienta del álgebra lineal que es el cálculo matricial.

El libro incluye muchas secciones comunes a cualquier texto de álgebra lineal o de teoría de grupos junto a elementos específicos de la cristalografía matemática, pero el resultado central de toda esta cristalografía abstracta es el "Teorema generador de los grupos puntuales impropios" (teorema T4.28, página 138 de la edición de 1990), que es un teorema de estructura que establece básicamente lo siguiente: todo grupo cristalográfico puede descomponerse como una unión de una parte propia (ligada a un único eje invariante por todas las rotaciones) y de una parte múltiplo de la operación de inversión.

Esta descomposición permite construir todos los grupos cristalográficos puntuales calculando todas las posibles combinaciones a partir de los grupos propios, que no son sino los grupos cíclicos de órdenes 1, 2, 3, 4 y 6 (únicos órdenes posibles según la restricción cristalográfica). Se dedica, además, una sección específica a la clase icosaédrica, una simetría imposible para las redes cristalinas.

Curiosamente el libro no incluye la demostración de este teorema generador, sino que remite a un artículo previo de los mismos autores: M. B. Boisen Jr., G. V. Gibbs, "A derivation of the 32 crystallographic point groups using elementary theory", American Mineralogist (1976) 61, 145-165. Artículo disponible en https://www.minsocam.org/ammin/am61/am61_145.pdf .

Por último se obtienen los doscientos treinta grupos espaciales cristalográficos tridimensionales a partir de los grupos puntuales. Una descripción detallada de todos estos grupos puede verse en la monumental obra Th. Hahn (ed.), "International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry", The International Union of Crystallography (2005). Disponibles en https://it.iucr.org/ .

Hay dos temas que echo de menos en el libro. Por una parte, el estudio de las formas cristalográficas, ligadas a las caras generales {hkl} y a ciertos casos particulares, y de su número clásico (cuarenta y ocho o cuarenta y siete); en la obra simplemente se da la definición (muy acertada) de las formas como las órbitas de la acción de los grupos cristalográficos puntuales sobre el espacio vectorial. Y por otra, algún comentario sobre la exfoliación y las maclas en los cristales, conceptos que, cada vez más, voy descubriendo como duales en sentido algebraico (intersección y unión de formas respectivamente con ganancia de simetría).

Una obra, en fin, deliciosa para quienes gustamos del acercamiento matemático a la cristalografía.

Tabla de contenidos (edición revisada, 1990)

Capítulo 1: Modelando patrones simétricos y geometría de las moléculas y los cristales
Introducción
- Patrones simétricos en las estructuras moleculares
- Patrones simétricos en los cristales
Una descripción matemática de la geometría de las moléculas y los cristales
- Espacio geométrico tridimensional
- Suma de vectores y producto escalar
- Tripletes
- Redes espaciales
- Espacios vectoriales
- Base de un espacio vectorial
- La correspondencia uno a uno entre S y R^3
- Ejes de coordenadas
Longitudes y ángulos
- Producto escalar
- Matriz métrica
- Producto vectorial
- Producto mixto de vectores

Capítulo 2: Algunos aspectos geométricos de los cristales
Introducción
Ecuaciones de los planos y de los planos reticulares
- Planos reticulares
- Ecuación del plano
- Índices de Miller
- Distancia entre planos
Base recíproca de vectores
- Redes directa y recíproca
- Comparación entre D y D*
Cambio de base
- Zonas
Aplicaciones
Una descripción de la geometría de los cristales en términos de bases ortonormales
- Cálculo de coordenadas angulares a partir de datos cristalográficos
Dibujando estructuras cristalinas

Capítulo 3: Isometrías puntuales, herramientas para describir la simetría
Introducción
Isometrías
- Rotaciones
- Símbolos de orientación
- Composición de isometrías
- Rotoinversiones
Elementos de simetría
Definiendo la simetría
Aplicaciones lineales
- Representación matricial de aplicaciones lineales
- Representación matricial de la composición de aplicaciones lineales
- Propiedades algebraicas de 322
Construcción del conjunto de matrices para las rotaciones de 322

Capítulo 4: Grupos puntuales cristalográficos monoaxiales
Introducción
Conceptos algebraicos
- Operaciones binarias
- Grupos
- Grupos de simetría
Restricciones cristalográficas
Grupos de rotaciones monoaxiales
- Representación matricial y bases de vectores
- Puntos y planos equivalentes

Capítulo 5: Grupos puntuales cristalográficos poliaxiales
Introducción
Grupos puntuales poliaxiales propios
Construcción de los grupos diédricos
Construcción de los grupos axiales cúbicos
Construcción de los grupos puntuales cristalográficos impropios
Los sistemas cristalinos
Símbolos de Schoenflies
Los grupos puntuales icosaédricos

Capítulos 6: Los tipos de redes de Bravais
Introducción
Redes
Una derivación de los catorce tipos de redes de Bravais
- Redes 1-invariantes
- Redes 2-invariantes
- Redes 3-invariantes
- Redes 4-invariantes
- Redes 6-invariantes
- Redes 222-invariantes
- Redes 322-invariantes
- Redes 422-invariantes
- Redes 622-invariantes
- Redes 23-invariantes
- Redes 432-invariantes
Los catorce tipos de redes de Bravais
Grupos de matrices que representan los grupos puntuales cristalográficos

Capítulo 7: Los grupos espaciales cristalográficos
Introducción
Traslaciones
Isometrías
Grupos espaciales cristalográficos
Operaciones en los grupos espaciales cristalográficos
Los tipos de grupos espaciales cristalográficos derivados de los grupos puntuales con un generador
Los tipos de grupos espaciales cristalográficos derivados de los grupos puntuales con dos generadores
Los tipos de grupos espaciales cristalográficos derivados de los grupos puntuales con tres generadores

Apéndice 1: Aplicaciones

Apéndice 2: Métodos matriciales
Operaciones
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
- Matrices escalonadas reducidas por filas
Determinantes
Inversas

Apéndice 3: Construcción e interpretación de matrices que representan isometrías puntuales
Introducción
- Bases ortonormales
- Bases cualesquiera
Interpretación de matrices que representan isometrías puntuales
- Bases ortonormales
- Bases cualesquiera
Demostración de los principales resultados

Apéndice 4: Popurrí
Orientación de las bases
Discusión y demostración del teorema 6.15

Apéndice 5: Algunas propiedades de las planos reticulares

Apéndice 6: Ángulos entre ejes de rotación
Grupos diédricos
Grupos axiales cúbicos

Apéndice 7: Relaciones de equivalencia, clases laterales y grupo cociente
- Relaciones de equivalencia
- Clases de equivalencia
- Clases laterales
- Grupo cociente

Apéndice 8: Isomorfismos

Referencias

Novedades en la edición revisada:
Soluciones a los problemas
Índice

(enlaces normalizados por FMF)

[Antonio Alcaide]

¡Vaya! La primera vez que veo que las matemáticas sirven para algo interesante...

:-)

Pero me temo que el nivel que requiere la obra excede de mis muy modestos conocimientos. En otra vida quizás. Entiendo no obstante, Pablo, tu resumen e intuyo la "potencia" conceptual de ese acercamiento teórico (generación matemática de las redes cristalográficas) que complementa otros acercamientos químicos o mineralógicos -estos últimos con los que estamos más familiarizados-.

Gracias por la reseña.

Saludos

[ManoloBD]

Hola Pablo,

gracias por la reseña y, sobre todo, por enlazar al artículo, que era más difícil de encontrar.

Cuando escribiste el hilo sobre la restricción cristalográfica quería, aunque se me fue pasando, haber mencionado que en el libro de Hilbert y Cohn-Vossen "Geometry and the imagination" hay una sección dedicada a la cristalografía que repasa estos temas de una manera más "intuitiva", desarrollando las pruebas de manera más informal y buscando resaltar la idea de la demostración sobre el cálculo y los detalles técnicos. Si aún no lo conoces, creo que te podría interesar. Lo que no quita que a algunos los detalles técnicos nos sigan pareciendo también dignos de interés.

Saludos.

[prcantos]

De nada, me alegro de que te interese también. No conozco el libro que me dices, pero lo miraré en cuanto pueda. Saludos.