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Cristales imposibles: la restricción cristalográfica
  
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prcantos
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MensajePublicado: 12 Jun 2014 22:27    Título del mensaje: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Hola. Me propongo en este hilo presentar de manera sencilla el Teorema de la Restricción Cristalográfica, un resultado matemático que establece cuáles son los únicos órdenes posibles de simetría para las redes cristalinas.

Comencemos con un ejemplo.


Ejemplo: dodecaedros de pirita y piritoedros

Pensemos en las famosas piritas de Ambas Aguas (La Rioja). Estos cristales recuerdan la forma del dodecaedro regular, un poliedro regular formado por doce caras pentagonales regulares. Pero una rápida observación permite notar que dichos dodecaedros no son regulares: aristas de distinta longitud, ángulos desiguales...

La primera hipótesis para explicarlo es pensar que la irregularidad se debe al hecho de que son cristales reales, no cristales ideales; que presentan, por tanto, numerosas imperfecciones, y que no han podido crecer en las condiciones óptimas de reposo o de espacio para el desarrollo de la geometría ideal.

Pero, en realidad, el impedimento no es de orden práctico, sino de tipo teórico. ¿Por qué es imposible que la pirita (y no sólo la pirita, sino cualquier mineral) forme dodecaedros regulares?

Si analizamos los elementos de simetría del dodecaedro regular (figura1.jpg) es fácil notar que este poliedro posee ejes quinarios de simetría: cualquier recta perpendicular a una cara pentagonal que pasa por su centro es uno de estos ejes. Pues bien, este tipo de simetría es del todo imposible en cualquier red cristalina. Por tanto, y en la medida en que la forma geométrica externa de los cristales es expresión de su estructura interna, no pueden existir cristales con simetría rotacional de orden cinco (de hecho, como veremos, las simetrías rotacionales permitidas son muy pocas).

La solución que ha encontrado la Naturaleza, lo que podríamos llamar la mejor aproximación a la forma geométrica del dodecaedro regular, es el piritoedro: un dodecaedro formado por pentágonos no regulares (figura2.jpg), un poliedro que no tiene simetrías de orden cinco.



El teorema de la restricción cristalográfica

Una red cristalina tridimensional sólo puede admitir simetrías rotacionales de orden 1, 2, 3, 4 ó 6.



Observación (sobre la periodicidad de la red cristalina)

Para demostrar este resultado conviene recordar el concepto de red cristalina (tridimensional): "una ordenación periódica tridimensional de átomos, iones o moléculas" (cf. W. Borchardt-Ott, Crystallography. An Introduction, Berlín 2011, p. 7). En realidad, para este teorema nos basta con esta abstracción: "una ordenación periódica tridimensional de puntos del espacio". No importa lo que haya en esos puntos o nodos, la propiedad fundamental es la periodicidad.

Esta periodicidad de la red cristalina es la que, combinada con la rotación, restringe tanto los posibles órdenes. Técnicamente la periodicidad significa que existen tres vectores linealmente independientes u, v y w de R^3 tales que, para cada dos puntos P y Q de la red, existen tres números enteros a, b y c tales que Q = P + au + bv + cw.



Demostración del teorema (caso de redes cristalinas bidimensionales)

Sea L una red cristalina bidimensional que admite una rotación ρ de orden n, es decir, de ángulo α=2π/n, y convengamos que el eje de la rotación sea perpendicular al plano del papel (figura 3). Consideremos dos nodos A y B adyacentes de la red cristalina pertenecientes a dicho plano, y consideremos el vector que lleva desde A hasta B. Por la periodicidad de la red, este vector AB es uno de los vectores de traslación dados por la periodicidad. Llamemos u = AB y apliquemos la rotación.

Sean B' = ρ_α(B) y A' = ρ_(-α)(A) = ρ^(n-1)_α(A), que se obtienen aplicando la rotación a los puntos A y B con el eje situado en B y en A (respectivamente) y en sentidos contrarios. Puesto que L admite la rotación ρ, tenemos asegurado que los puntos A' y B' también pertenecen a la red L. Además, los nodos A' y B' están situados sobre una recta paralela a la recta definida por A y B (esto es claro: la distancia de A' y de B' a la recta definida por AB es, en ambos casos, u·sen α, donde u denota el módulo del vector u).

Aplicando sencillas definiciones trigonométricas, sabemos que en el triángulo A'OB' se verifica A'B' = 2u cos α. Pero, además, puesto que A' y B' son nodos de la red que definen una recta paralela a la recta AB, sabemos que A' y B' están relacionados mediante el mismo vector de traslación u; concretamente, por la periodicidad de la red, el lado A'B' es un múltiplo entero del vector u, es decir, A'B' = ku, donde k es un número entero.

Igualando los módulos obtenemos la ecuación A'B' = ku = 2u cos α. Y simplificando, por ser u ≠ 0, llegamos a cos α = k/2, con k entero. Como |k/2| = |cos α| ≤ 1, las únicas soluciones posibles son k=-2, k=-1, k=0, k=1 y k=2, que corresponden, respectivamente, a los ángulos α=π, α=2π/3, α=π/2, α=π/3, y α=0 radianes (o, equivalentemente, α=180, α=120, α=90, α=60 y α=0 en grados sexagesimales). Estos valores corresponden, respectivamente, a los órdenes n=2, n=3, n=4 y n=6. Para el caso trivial α=0, la rotación es la identidad y tiene orden 1. Es decir: las únicas rotaciones (o simetrías rotacionales) admitidas por una red cristalina bidimensional son las de orden 1 (identidad), 2 (eje binario), 3 (eje ternario), 4 (eje cuaternario) y 6 (eje senario).



Demostración (caso general tridimensional)

En realidad los puntos A, B, A' y B' (con la misma notación de antes) son coplanarios (en un plano perpendicular al eje de rotación), por lo que podemos aplicar el razonamiento anterior a la subred cristalina bidimensional definida por ellos.



Ejemplo: piritas icosaédricas

Como consecuencia de este teorema, el icosaedro regular (figura4), otro de los sólidos platónicos, es también imposible en el mundo mineral por tener ejes quinarios de simetría. Sin embargo, algunas piritas llegan a formar cristales pseudoicosaédricos, aunque no es una forma demasiado frecuente. Ver, por ejemplo, http://www.mindat.org/photo-609815.html .


Ejemplo: los cuasicristales

Es llamativo el hecho de que la simetría de orden 5, imposible para la materia mineral, es, sin embargo, muy frecuente en el mundo orgánico: virus, estrellas de mar, erizos y flores ofrecen innumerables ejemplos.

Pero la simetría quinaria no es exclusiva de la biosfera: existen unos materiales llamados "cuasicristales" en los que no existe la restricción cristalográfica. La razón es que en los cuasicristales la red de átomos, iones o moléculas que los constituye está ordenada pero no es periódica; propiedad que interviene de manera decisiva, como hemos visto, en la demostración del teorema.

Es más, uno de estos cuasicristales es aprobó como especie mineral en 2010: es la icosaedrita, un mineral hallado en el río Khatyrka, en el extremo más oriental de Rusia, en forma de inclusiones dentro de cristales de stishovita (sílice formada en condiciones de ultrapresión)... ¡de origen extraterrestre! Ver http://www.mindat.org/min-40647.html .



figura1.jpg
 Descripción:
Dodecaedro regular. Se muestra un eje quinario de simetría.
 Visto:  9792 veces

figura1.jpg



figura2.jpg
 Mineral: Pirita
 Localidad:
Ambas Aguas (Ambasaguas), Muro de Aguas, Comarca Arnedo, La Rioja, España
 Dimensiones: 2 x 1'5 cm.
 Descripción:
Piritoedro de Ambas Aguas, vista en planta. Aunque no se aprecia en esta imagen, tiene tres aristas biseladas según las caras del cubo.
 Visto:  9834 veces

figura2.jpg



figura3.jpg
 Descripción:
Demostración del teorema (caso bidimensional).
 Visto:  9807 veces

figura3.jpg



figura4.jpg
 Descripción:
Icosaedro regular. Se muestra un eje quinario de simetría.
 Visto:  9816 veces

figura4.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Josele




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MensajePublicado: 13 Jun 2014 16:11    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Siempre me ha resultado difícil comprender el álgebra. Por el contrario la geometría la entiendo sin mayor esfuerzo, será por aquello de que entra por los ojos.
Por si a alguien le ocurre lo mismo, pongo aquí otra forma de explicar porqué no pueden existir estructuras cristalinas con ejes de simetría diferentes a los de orden binario, ternario, cuaternario y senario.
Imaginémos una celda unidad de un cristal cualquiera vista en planta (2 dimensiones). Cualquiera que sea la forma que tenga, ésta deberá repetirse por traslación de forma que no deje espacios huecos entre las celdas ya que la materia cristalina es necesariamente homogénea. En el esquema mostrado a continuación (sacado de un viejo libro de cristalografía elemental) puede verse que para que se cumpla el principio de homogeneidad la simetría de la celda unidad solo puede ser de orden 1, 2, 3, 4 o 6. Ningún otro polígono consigue cerrar totalmente el espacio al ser repetido por traslación:



poligonoX.jpg
 Descripción:
8a - Celdas unidad del sistema triclínico.
8b - Sistema monoclínico.
8c - Sistema trigonal.
8d - Sistema cúbico y tetragonal.
8e - Celda pentagonal. Es imposible replicarla sin dejar huecos vacíos, lo que es incompatible con la materia cristalina.
8f - Sistema hexagonal.
8g - Celda heptagonal. No puede cerrar el espacio al replicarse.
8h - Celda octogonal. Tampoco puede cerrar el espacio.
Ningún polígono con mayor nº de lados conseguiría cerrar el espacio como es imperativo en la materia cristalina.
 Visto:  9676 veces

poligonoX.jpg



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Josele
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prcantos
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MensajePublicado: 13 Jun 2014 17:59    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Bueno, en realidad este razonamiento no demuestra el teorema. Eso sí, sirve para mostrar que ciertos polígonos no teselan el plano. Esto es condición necesaria, pero no suficiente para hablar de red cristalina: no toda teselación del plano con polígonos regulares define una red cristalina (ver la figura).

Pero en el teorema se exige más: aparece la hipótesis de que la red admita globalmente una rotación de orden n, que debe funcionar, por tanto, con el eje (perpendicular al plano del dibujo) situado en cualquier nodo. Esto es más fuerte que la simetría de la celdilla unidad. Sin embargo, en la figura 8e se aprecia claramente que el retículo (globalmente) no admite ninguna rotación de orden 5 con eje que pase por los nodos, a pesar de la que cada celdilla sí la admite con ejes que pasen por su centro.

De todas formas es una buena forma de visualizar que el pentágono "no se lleva bien" con las redes cristalinas.



teselacionNOperiodica.jpg
 Mineral: Teselación no periódica del plano con cuadrados
 Descripción:
Las distancias dadas por la sucesión 1/2, 1/4, 1/8... (término general 1/2^n) son cada vez más pequeñas: tienden a cero, pero nunca se alcanzará ese valor.
 Visto:  9666 veces

teselacionNOperiodica.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 13 Jun 2014 18:55    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Yo conozco un cuerpo esférico formado a base de pentágonos. ¡El balón del fútbol!
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Emilio Téllez




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MensajePublicado: 14 Jun 2014 19:04    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Perdón, el balón de fútbol (icosaedro truncado) está formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos que imitan la molécula del fullereno C60 (un átomo de C en cada esquina), molécula más estable del carbono, después del grafito y el diamante. Aunque ejes de simetría de orden 5 no tiene pero formas pentagonales perfectas sí.
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Carles Rubio




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MensajePublicado: 14 Jun 2014 19:10    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Emilio Téllez escribió:
Perdón, el balón de fútbol (icosaedro truncado) está formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos que imitan la molécula del fullereno C60 (un átomo de C en cada esquina), molécula más estable del carbono, después del grafito y el diamante. Aunque ejes de simetría de orden 5 no tiene pero formas pentagonales perfectas sí.


A no ser que juegues en la selección española y las veas todas cuadradas.

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prcantos
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MensajePublicado: 24 Jun 2014 12:44    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Vamos a ver un ejemplo real de una pirita de Merelani Hills (Tanzania). En algunas zonas de este cristal la Naturaleza "intenta imitar" o aproximar la geometría del icosaedro (concretamente la concurrencia de cinco caras triangulares en los vértices) mediante la combinación de caras del cubo (c), del octaedro (o) y del piritoedro (p). Aparecen también unas pequeñas caras que no sé identificar, y que tienen forma de cuñas trapezoidales; puede que sean caras del trapezoedro, ver http://franklin-sterlinghill.com/palache/pyrite.stm (enlace normalizado por FMF).


Sin título-0.jpg
 Mineral: Pirita
 Localidad:
Merelani, Montes Lelatema, Distrito Simanjiro, Región Manyara, Tanzania
 Dimensiones: 3 x 3 cm.
 Descripción:
Vista general del cristal. No está completo: digamos que es holoédrico en algo más de los 2/3 de su altura.
 Visto:  9342 veces

Sin título-0.jpg



Sin título-1.jpg
 Mineral: Pirita
 Localidad:
Merelani, Montes Lelatema, Distrito Simanjiro, Región Manyara, Tanzania
 Dimensiones: 2'5 x 2'5 cm.
 Descripción:
Vista de una de las zonas que recuerdan al icosaedro: concurrencia de cinco "triángulos" del octaedro y del piritoedro (p, o, p, o, p), más una cara del cubo (c) más las dos cuñas no identificadas.
 Visto:  9358 veces

Sin título-1.jpg



Sin título-2.jpg
 Mineral: Pirita
 Localidad:
Merelani, Montes Lelatema, Distrito Simanjiro, Región Manyara, Tanzania
 Dimensiones: 3 x 2'5 cm.
 Descripción:
Otra zona del mismo cristal con una nueva concurrencia de cinco "triángulos". El "triángulo" del octaedro marcado con una "o" roja es el que aparecía en la imagen previa a la izquierda (con mucho brillo).
 Visto:  9358 veces

Sin título-2.jpg



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Josele




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MensajePublicado: 24 Jun 2014 16:59    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Hola Pablo, muy interesante esta pirita con tantas caras. Si pasas un rato más dándole vueltas seguro que averiguas de qué poliedro son esas caras chiquitas...

Para no crear malentendidos, tan solo precisar que, a diferencia de lo que dice la descripción de la primera foto de la serie anterior (Sin título-0.jpg), la pirita no pertenece la clase holoédrica del sistema cúbico sino a la clase diploidal o piritoédrica (2/m-3).

En la segunda foto, las dos caras que has marcado como del octaedro no parece que estén enfrentadas a pesar de estar viéndose desde un vértice, lo que no acaba de cuadrar con que ambas sean caras del octaedro, aunque es difícil de precisar solo viendo las fotos en 2 dimensiones.

Un saludo.

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prcantos
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MensajePublicado: 24 Jun 2014 20:20    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Josele escribió:
...la pirita no pertenece la clase holoédrica del sistema cúbico sino a la clase diploidal o piritoédrica (2/m-3).

Tienes razón, Josele. Como no me sé los nombres de los grupos de simetría, he usado el término de forma confusa. Cuando dije holoédrico no me refería a la clase o al grupo puntual, sino que lo dije en sentido etimológico: "todo caras planas".

Josele escribió:
En la segunda foto, las dos caras que has marcado como del octaedro no parece que estén enfrentadas a pesar de estar viéndose desde un vértice, lo que no acaba de cuadrar con que ambas sean caras del octaedro...

En realidad se trata de caras contiguas del octaedro. Ver, por ejemplo, este fantástico esquema (sobre todo la figura de la línea superior a la derecha).

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Josele




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MensajePublicado: 24 Jun 2014 20:36    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

prcantos escribió:
... En realidad se trata de caras contiguas del octaedro. Ver, por ejemplo, este fantástico esquema (sobre todo la figura de la línea superior a la derecha).

Ahora sí lo veo, gracias por la explicación y por el enlace. Son geniales estos dibujos generados por los programas de cristalografía, tengo que buscar uno que funcione en el iMac.

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prcantos
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MensajePublicado: 24 Jun 2014 22:39    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Acabo de encontrar este otro esquema de una pirita de la misma localidad que aclara una de esas "cuñas": el plano (211), correspondiente al trapezoedro.
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MensajePublicado: 03 Jul 2014 10:57    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Merece la pena mirar también este otro esquema de combinación de formas del sistema isométrico.

El poliedro que aparece debajo del piritoedro es una buena aproximación a esta pirita. Sólo faltan en el dibujo las caras del cubo.

Además, en el lado izquierdo aparece claramente un "falso icosaedro" conseguido mediante una combinación del octaedro y el piritoedro: el octaedro trunca ocho de los vértices del piritoedro. El desarrollo completo puede verse aquí. Es, desde luego, la "mejor aproximación" (por utilizar un término matemático) al icosaedro en el sistema isométrico.

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MensajePublicado: 03 Jul 2014 12:29    Título del mensaje: Re: Cristales imposibles: la restricción cristalográfica  

Para que el hilo no quede sin los dibujos, he pintado yo mismo los esquemas mencionados en el post anterior.


esquema.jpg
 Mineral: Esquema de la pirita de Merelani Hills
 Descripción:
Piritoedro (naranja), octaedro (azul), cubo (verde), trapezoedro (gris).
 Visto:  9044 veces

esquema.jpg



mejoraproximacion2.jpg
 Mineral: Falso icosaedro
 Descripción:
Falso icosaedro construido por intersección. Combina triángulos procedentes de las caras del piritoedro (naranja) y del octaedro (azul).
 Visto:  9040 veces

mejoraproximacion2.jpg



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