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prcantos
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MensajePublicado: 25 Jun 2013 16:57    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Hacia una definición de macla (I): agregados cristalinos regulares

Después de estos ejemplos, es conveniente recoger algunos de los elementos que han aparecido en forma de definiciones.

Cristal. Llamaremos cristal a toda individuación de la materia cristalina. Se trata de una definición muy amplia que hay que restringir y adecuar a lo que nos interesa.

Agregado cristalino. Llamaremos agregado cristalino a cualquier conjunto de cristales poliédricos (de caras planas).

Los agregados cristalinos pueden ser:

* Finitos o infinitos (los únicos posibles en la naturaleza son, por supuesto, finitos).
* Homogéneos (si todos los cristales son de la misma especie, o al menos individuos de composiciones similares dentro de una serie isomorfa) o heterogéneos.
* Conexos (si todos los cristales del agregado se tocan al menos dos a dos) o disconexos. Todo agregado cristalino consta de una o varias componentes conexas, que son los subconjuntos conexos maximales del agregado cristalino. Si el agregado es conexo, constará de una sola componente conexa que coincide con él; si es disconexo, se podrá expresar como unión disjunta de dos o más componentes conexas.

Estos tipos se pueden combinar de cualquier forma: homogéneo y disconexo, heterogéneo y conexo, etc...

Por ejemplo, el conjunto de minerales cristalizados (con caras planas) en la vitrina de un coleccionista es, según esta definición, un agregado cristalino finito, heterogéneo y disconexo (nótese que podemos elegir qué cristales entran y cuáles no en el conjunto; cualquier elección es posible, pero no todas serán interesantes o provechosas).

Más ejemplos. En la figura 13 he puesto unos cristales de hornblenda de las andesitas de Carboneras que constituyen un agregado cristalino finito, homogéneo y probablemente conexo. La figura 14, una fotografía puesta por Vinoterapia en el hilo Otra forma de ver los minerales, muestra un pequeñísimo agregado cristalino homogéneo y conexo, probablemente de algún piroxeno, que podría describirse como un agregado de tres cristales ortogonales Ω U f_1(Ω) U f_2(Ω), con f_1=ρ_((0,1,0),90º) y f_2=ρ_((0,0,1),90º), aunque quizá la mitad de uno de los cristales pueda estar incompleta (por no haber crecido, o por haber sido eliminada durante la preparación de la lámina delgada).

Naturalmente, en el estudio de las maclas interesan los agregados cristalinos finitos, homogéneos y conexos. Por tanto, en adelante supondremos que todos los agregados cristalinos son finitos, homogéneos y conexos (aunque también se podría continuar la teoría sin estas restricciones).

Agregado cristalino regular (ACR). Diremos que un agregado cristalino (finito, homogéneo y conexo) es regular si para cada par de cristales del agregado existe un movimiento rígido del espacio afín real tridimensional que transforma uno en otro. Es decir, si Ω_0 U Ω_1 U … U Ω_n es un agregado cristalino finito, homogéneo y conexo, diremos que es regular si para todo i,j ϵ {1,...,n} existe f_ij movimiento rígido tal que f_ij(Ω_i)=Ω_j.

En consecuencia, podemos afirmar que todos los cristales de un ACR son iguales en forma y tamaño, pero no en posición. Además, elegido cualquier cristal Ω del agregado, el ACR se puede escribir como Ω U f_1(Ω) U f_2(Ω) U … U f_n(Ω), con f_i movimientos rígidos adecuados no necesariamente distintos (es fácil probarlo por inducción sobre n).

Si todos los movimientos rígidos de un ACR son iguales (f_ij = f para todo i,j), entonces el ACR se puede escribir como la unión de potencias del movimiento rígido f, es decir, Ω U f(Ω) U f^2(Ω) U … U f^n(Ω) (es también fácil probarlo por inducción sobre n).

Son ejemplos de ACR: las maclas en cruz de la estaurolita, las de penetración de la fluorita por rotación (éstas son sólo de dos individuos y un solo movimiento rígido). Las maclas cíclicas múltiples del aragonito, del crisoberilo y de las plagioclasas también son ACR. El agregado anterior de cristales de hornblenda de Carboneras no es un ACR, porque los cristales no son del mismo tamaño (ni siquiera descontando el distinto grado de crecimiento o la matriz que tape sus terminaciones). En cambio, el grupo microscópico de la lamproita aportada por Vinoterapia sí es un ACR.

Una observación importante es que no existe una única descripción de los ACR, por lo que siempre será interesante obtener una descripción lo más “optimizada” posible en el sentido de minimizar el número de movimientos rígidos precisos. En la figura 15 aparecen dos descripciones de un mismo ACR (la macla cíclica del aragonito). Cada descripción involucra una elección del cristal base y un conjunto adecuado de movimientos rígidos.



figura13.jpg
 Descripción:
Cristales de hornblenda en una andesita porfídica
Carboneras, Almería, Andalucía, España
18 x 5 mm. el grupo de cristales
Un agregado cristalino finito, homogéneo y probablemente conexo. La imagen ampliada de la derecha (20X) no aclara si existe contacto entre los cristales: puede que la matriz de la roca enmascare parte de los bordes.
 Visto:  12745 veces

figura13.jpg



figura14.jpg
 Descripción:
Cristales no identificados en lámina delgada de lamproita
La Aljorra, Cartagena, Murcia, España
Grupo cristalino de aproximadamente 0.15 mm
Un agregado cristalino finito, homogéno y conexo de cristales ortogonales microscópicos. Se trata también de un ACR. Fotografía aportada al foro por Vinoterapia.
 Visto:  12747 veces

figura14.jpg



figura15.jpg
 Descripción:
Dos descripciones distintas del mismo ACR. La primera involucra dos movimientos rígidos distintos (dos rotaciones de ángulos opuestos a partir del cristal azul central). La segunda, con una elección distinta del cristal base, está más optimizada porque emplea sólo un movimiento rígido aplicado sucesivamente.
 Visto:  12743 veces

figura15.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 27 Jun 2013 11:44    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hace poco PabloR ha puesto en su colección una calcita estrellada muy bien formada. Creo que merece la pena ponerla aquí como ejemplo de agregado cristalino regular. ¿Sabéis si está descrita como macla?


fotoacr.jpg
 Descripción:
Calcita: agregado cristalino regular
Cantera Candesa (Verdenueva) Camargo, Cantabria, España
3,5x3,5cm
 Visto:  12720 veces

fotoacr.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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arturo shaw




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MensajePublicado: 27 Jun 2013 12:10    Título del mensaje: Re: Maclas  

No lo es, de hecho los diferentes ángulos entre individuos no son siquiera iguales. Lo que no quiere decir que no contenga algún par de individuos maclados, habría que medir los ángulos. En la calcita se da la macla llamada "en mariposa" como estas de Roger Warin: http://www.mineral-forum.com/message-board/viewtopic.php?p=29341#29341

Saludos

Arturo
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Sergio Pequeño




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MensajePublicado: 01 Jul 2013 21:00    Título del mensaje: Re: Maclas  

Perdonad porque voy a ser brusco :-)...Sois unos frikis :-) con todo el cariño del mundo porque además es que me encanta!!!!!! Por favor seguid con el hilo es brutal el nivel :-)
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prcantos
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MensajePublicado: 01 Jul 2013 21:07    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Hacia una definición de macla (II): conjuntos simétricos

Sería muy deseable poder dar una definición de macla tan precisa y contundente como ésta: "una macla es un agregado cristalino regular simétrico". Pero, aunque fuese correcta, probablemente no serviría para mucho, pues hay ACR simétricos que no queremos considerar como maclas (por buenas razones): la anterior hornblenda de Carboneras, o en general cualquier yuxtaposición simétrica de cristales en crecimiento paralelo. Aun sin entrar en consideraciones de nivel atómico, podremos afinar un poco más incluso desde este acercamiento algebraico. En todo caso, parece muy oportuno retomar el estudio de los conjuntos simétricos, ya que esta es una de las características más distintivas de las maclas.

Diremos que un conjunto Ω de R^3 es simétrico si es globalmente invariante para alguna simetría Σ del espacio afín R^3; es decir, Σ(Ω) = Ω.

Observaciones:

- “Globalmente invariante” significa que la imagen del conjunto Ω por la simetría es el propio conjunto Ω, pero no que cada punto quede inmóvil.

- Como ya expuse aquí, existen tres tipos de simetrías: simetría simple respecto de un plano, simetría doble respecto de dos planos ortogonales, y simetría triple respecto de tres planos ortogonales (o inversión).

Según esto último, la definición anterior puede reescribirse así: Ω es simétrico si se verifica alguna de las siguientes afirmaciones:

a) existe un plano π tal que σ_π (Ω) = Ω;
b) existen dos planos ortogonales π1 y π2 tales que σ_π2 σ_π1 (Ω) = Ω;
c) existen tres planos ortogonales π1, π2 y π3 tales que σ_π3 σ_π2 σ_π1 (Ω) = Ω;

con Σ = σ_π, Σ = σ_π2 σ_π1 ó Σ = σ_π3 σ_π2 σ_π1, respectivamente (recordar la figura 11 del enlace anterior). En tales casos, diremos, respectivamente, que Ω es simétrico por simetría simple (o plana, o par), por simetría doble (o impar), o por simetría triple (o inversión).

No es difícil demostrar que para asegurar la igualdad Σ(Ω) = Ω basta comprobar la inclusión Σ(Ω) ≤ Ω; es decir, basta comprobar que el simétrico de cualquier punto de Ω pertenece también al conjunto Ω. Notemos también que, en las condiciones anteriores, las simetrías respecto de planos ortogonales conmutan entre sí.

Esta definición es muy clara teóricamente, pero en la práctica no siempre será operativa; sólo en aquellos casos en que podamos caracterizar formalmente el conjunto Ω de manera manejable. Aun así, hay que pensar lo siguiente: en cualquier agregado cristalino que pueda aspirar a ser una macla, no debería de ser demasiado difícil “evaluar” visualmente esta condición.

En cualquier caso, con lo que ya tenemos hasta ahora vamos a poder ofrecer una descripción mucho más útil y ajustada para caracterizar la simetría global de las maclas, que vendrá de la mano de las series de potencias.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 02 Jul 2013 09:00    Título del mensaje: Re: Maclas  

Sergio Pequeño escribió:
Perdonad porque voy a ser brusco :-)...Sois unos frikis :-) con todo el cariño del mundo porque además es que me encanta!!!!!! Por favor seguid con el hilo es brutal el nivel :-)


Gracias, Sergio, por la parte que me toque... Me alegro de que disfrutes el hilo. Pero esto no es nada con lo que hay en el foro inglés: el amigo Ru Smith es el más grande. No os perdáis sus modelos "gourmet" para la macla de la espinela...

http://www.mineral-forum.com/message-board/viewtopic.php?p=32521#32521 y siguientes.

¡Insuperable!

(N. B.: aquí también se puede notar que lo material no interviene en ciertos planteamientos geométricos globales en abstracto: agregados cristalinos, flores, queso manchego o queso parmesano... si tienen la forma adecuada, no importa).

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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prcantos
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MensajePublicado: 03 Jul 2013 12:25    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Un ejemplo completo: estudio de la macla por rotación de la fluorita

Vamos a realizar aquí el estudio de la simetría de la macla de la fluorita por rotación axial de eje r=(111) para ilustrar cómo es el tratamiento algebraico de este tipo de objetos. Normalmente esta macla, bien conocida, aparece en los esquemas de los libros de cristalografía como el resultado de la rotación de eje r y ángulo α=60º, con un aspecto simétrico. Aquí trataremos de precisar qué elementos de simetría están presentes para un ángulo cualquiera. En la figura 16A aparecen tres ejemplos de esta macla para ángulos de 20º, 60º y 100º. Los dos círculos en amarillo señalan puntos que coincidían antes de la rotación.

Lo primero es poner notación y elegir un buen sistema de referencia, que se adapte bien a la geometría del problema (ver figura 16B). Sea O el origen de coordenadas y sea Ω el cubo de vértices (±1,±1,±1) (en rojo en la figura). Sea r=(111) la recta que pasa por los vértices (1,1,1) y (-1,-1,-1), que actuará como eje de rotación. Sea r=(1/√3,1/√3, 1/√3) el vector unitario director de la recta r. Consideremos el plano ortogonal a r que pasa por el origen y elijamos cualquier vector unitario en dicho plano, por ejemplo u=(-1/√2,1/√2,0), y sea v=r x u el producto vectorial de r y u. Entonces B={r,u,v} es una base ortonormal positivamente orientada de R^3, y la matriz de la rotación de eje r y ángulo α en dicha base es M = M(ρ_{r,α},B) (ver figura 16B). Si llamamos P = M(id,B,B_0) a la matriz de cambio de base de B a la base usual B_0, entonces la expresión de la rotación aplicada a cualquier punto (x,y,z) de R^3 (coordenadas en el sistema de referencia usual) será:

ρ_{r,α}(x,y,z) = PMP^{-1} (x y z)^t.

Además, como la matriz P es ortogonal, su inversa coincide con su traspuesta, P^{-1}=P^t, lo que facilita los cálculos. Las expresiones de todas estas matrices aparecen en la figura 16B.

Para afirmar que el conjunto maclado, X = Ω U ρ(Ω), es simétrico, hay que encontrar al menos un plano π (o dos o tres) tal que Σ_π(X) = X.


Simetría respecto de π = r┴

Consideremos en primer lugar el plano π = r┴ ortogonal al eje r y que pasa por el origen de coordenadas (ver figura 16C), y veamos si es un plano de simetría para X.

Una condición necesaria para que esto se verifique es que la simetría preserve vértices (de lo contrario, la figura no sería simétrica). Consideremos p=(1,-1,1) uno de los vértices de Ω, sea ρ_α(p) ϵ ρ_α(Ω) su imagen por la rotación, y σ_π (ρ_α(p)) el simétrico del rotado respecto de π. Entonces σ_π (ρ_α(p)) será un vértice de alguno de los dos cubos de la figura si, y solamente si, sus tres coordenadas valen 1 en valor absoluto. Dichas coordenadas pueden ser calculadas usando las expresiones matriciales de ρ y σ; llamémoslas f_1, f_2 y f_3. En la figura 16C aparecen sus expresiones en valor absoluto y la solución gráfica de las ecuaciones f_1(α)=f_2(α)=f_3(α) = 1. Las soluciones que se obtienen son α = ±60º y α =180º. Notemos que la rotación de 180 es un caso trivial, porque el cubo rotado 180º respecto del eje r coincide con el rotado 60º (los 120º producen dos cubos solapados en la misma posición). Por tanto, la macla de la fluorita por rotación respecto de r=(111) no puede ser simétrica respecto del plano π = r┴ para ángulos distintos de 60º (en ambos sentidos). En caso afirmativo (α = ±60º), es fácil comprobar la simetría.

Así, el resultado de este primer análisis es el siguiente:

La macla de la fluorita por rotación respecto del eje r=(111) es simétrica respecto del plano π = r┴ si, y solamente si, la rotación es de ±60º.

En la figura 16C se representa el caso α = 100º para ilustrar la falta de simetría del conjunto.


Simetría respecto de π_α ≥ r

Estudiemos una segunda propuesta de simetría. Consideremos ahora un plano π_α que contenga al eje de rotación r y al punto medio de cada punto y su imagen por la rotación (es el plano que biseca al ángulo diedro formado entre las dos esquinas giradas del cubo). En la figura 16D se ha representado dicho plano para un ángulo de 20º; a primera vista, nos inclinamos a pensar que puede ser un buen plano de simetría para cualquier ángulo. Veámoslo.

Haciendo los cálculos, laboriosos pero rutinarios, se pueden obtener la ecuación del plano π_α, una base ortonormal oportuna B_α y la expresión matricial de la simetría σ_π_α, dada por la matriz M(σ_π_α,B_0). Como primer vector de la base se ha tomado el vector del posición del punto medio del mismo vértice p=(1,-1,1) del ejemplo anterior y su imagen por la rotación ρ_α(p), dividido por su norma; como segundo vector, el director normalizado de r, y como tercer vector, su producto vectorial.

Con toda esta notación, se puede comprobar sin dificultad (pero tras muchas cuentas: primero el vértice p, los otros análogamente, y después se extiende a aristas y caras usando parametrizaciones adecuadas), que X es invariante por σ_π_α para cualquier ángulo α. Es decir:

Para cualquier ángulo de rotación α, la macla de la fluorita por rotación respecto del eje r=(111) es simétrica respecto del plano π_α.

Como conclusión de todo este estudio, podemos establecer que toda macla por rotación de la fluorita, en las condiciones anteriores, es simétrica. O, de otra forma, que la rotación ρ_{(111),α} del cubo de la fluorita produce siempre resultados simétricos. El grado máximo de simetría se alcanza, sin duda, para α = ±60º, pues la figura es simétrica respecto de r┴ y de π_α; para otros ángulos, la simetría se tiene sólo para π_α, aunque, a la vista de la figura 16E, podríamos conjeturar que la figura siempre es simétrica por la simetría impar Σ = σ_r┴ σ_π_α (esto ya no lo he comprobado, dejémoslo como pasatiempo...).



figura16A.jpg
 Descripción:
Maclas por rotación de la fluorita
Parece que los distintos ángulos afectan a la simetría global del ACR.
 Visto:  12479 veces

figura16A.jpg



figura16B.jpg
 Descripción:
Notación, sistema de referencia y expresión matricial de la rotación
 Visto:  12458 veces

figura16B.jpg



figura16C.jpg
 Descripción:
Simetría respecto del plano π = r┴
 Visto:  12438 veces

figura16C.jpg



figura16D.jpg
 Descripción:
Simetría respecto del plano π_α
 Visto:  12466 veces

figura16D.jpg



figura16E.jpg
 Descripción:
Propuesta de simetría impar
A la izquierda, los dos planos ortogonales para la simetría impar. A la derecha, la figura compuesta por la unión de la macla y su imagen simétrica respecto del plano π = r┴. Realmente parece que se consigue una figura simétrica respecto del plano π_α .
 Visto:  12473 veces

figura16E.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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Josele




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MensajePublicado: 03 Jul 2013 20:15    Título del mensaje: Re: Maclas  

Buen trabajo Pablo, hasta un negado para el álgebra como yo puede entenderlo. Y los gráficos, geniales. Solo con la letra me hubiera perdido pero los gráficos iluminan el asunto. Se agradece el esfuerzo que has hecho, así da gusto aprender.

Una cuestión: cuando dices "Para cualquier ángulo de rotación α, la macla de la fluorita por rotación respecto del eje r=(111) es simétrica respecto del plano π_α." entiendo que el plano π_α puede ser también π_α+60º y π_α+120º, ya que cualquiera que sea el ángulo de rotación α la figura tiene tres planos de simetría que se cruzan en el eje de rotación, separados 60º entre ellos. Estos planos coinciden con la intersección de los cubos. En el caso de α=60º tenemos además otros tres planos de simetría que coinciden con las aristas de los cubos.

No entiendo el concepto de simetría impar pero en la última imagen, a la izquierda también hay 3 planos de simetría (π_α , π_α+60º y π_α+120º) y creo que en la de la derecha hay 6, todos pasando por el eje de rotación, claro.

Saludos.

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Josele
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prcantos
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MensajePublicado: 03 Jul 2013 21:29    Título del mensaje: Re: Maclas  

Gracias, Josele. Pero qué rabia que todas las imágenes salen borrosas al pasarlas por el Paint. Tengo que ver si puedo editarlas de otra forma sin perder nitidez.

Te voy contestando poco a poco hasta donde yo sepa.

Josele escribió:

entiendo que el plano π_α puede ser también π_α+60º y π_α+120º, ya que cualquiera que sea el ángulo de rotación α la figura tiene tres planos de simetría que se cruzan en el eje de rotación, separados 60º entre ellos. Estos planos coinciden con la intersección de los cubos

Sí, lo que dices es cierto. Lo que ocurre es que para justificar la simetría simple basta con encontrar uno de estos planos. Sirve cualquiera de los tres, pues efectivamente existen los que dices. Lo único es que yo no los llamaría π_α+60º y π_α+120º, porque todos están relacionados con el único ángulo de rotación α. Este ángulo marca la "apertura" entre los cubos, no los ángulos entre planos, que, por cierto, son siempre de 120º, no de 60º en el caso α=60º. Pero salvo ese detalle, lo que dices es cierto porque r es un eje ternario. En la figura 16G he puesto la vista en planta de la misma macla de 60º: el punto verde el el eje y las rectas de color naranja son los tres planos (representados como semiplanos para no complicar el dibujo).

Josele escribió:

En el caso de α=60º tenemos además otros tres planos de simetría que coinciden con las aristas de los cubos.

Esto no lo entiendo. Si te refieres al plano perpendicular al eje, hay solamente uno. En cuanto a tres planos que pasan por las aristas de los cubos, no los he estudiado, pero puede ser que también proporcionen simetría. Pero no estoy seguro de si he entendido tu pregunta. Lo mismo para los planos que citas en la última figura: no los he mirado, pero muy probablemente lo serán, si lo has visto y evaluado en la figura.

Josele escribió:

No entiendo el concepto de simetría impar...

Lo explico de nuevo, ahora en dos dimensiones, con ejemplos clásicos de las funciones reales. La función coseno hiperbólico (en rojo) tiene simetría par (es simétrica respecto de un eje, el eje vertical). En cambio, la función seno hiperbólico (en verde) tiene simetría impar (es simétrica respecto del origen). Esta simetría impar se "visualiza" así: doblamos la pantalla (!) por el eje vertical, y no obtenemos coincidencia; volvemos a doblar por el eje horizontal, y ya sí hay coincidencia. La extensión al caso tridimensional es inmediata mediante una, dos o tres simetrías planas.



figura16G.jpg
 Descripción:
Macla por rotación de 60º (vista en planta)
 Visto:  12416 veces

figura16G.jpg



ParImpar.jpg
 Descripción:
Simetría par (rojo) y simetría impar (verde) en dos dimensiones
 Visto:  12426 veces

ParImpar.jpg



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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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ManoloBD




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MensajePublicado: 03 Jul 2013 22:59    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola,
me acerco por aquí a dejar unas palabras. He ido siguiendo el desarrollo de este hilo con curiosidad, pues no tenía claro cuál era el fin último. Ahora voy viendo de qué va la cosa. Interesante.

De todas formas, comparto el punto de vista expresado ya por otros de que la restricción que imponen las redes cristalinas tampoco se puede despreciar, pues es la que provoca los ángulos finales que puede tener la macla. En este último ejemplo cúbico la restricción está escondida, creo, en el hecho de que se parte de un eje de rotación muy concreto. ¿Es esto lo que obliga a que aparezcan el 60?

El otro plano de simetría parece más importante. En el libro de Klein/Dutrow “Mineral Science” mencionan de pasada que “la macla puede considerarse como un defecto de tipo planar” (pág 228, Ed 23). Yo supongo que esto alude a lo que en una intervención se ha llamado “posición estructuralmente compatible” de los cristales que intervienen en la macla, en el sentido de que, aunque sus retículos no coincidan, tienen que hacerlo en algún momento, haciendo surgir un plano (¿abstracto?) que atraviese la macla. ¿Será ese plano un elemento de simetría? En las maclas llamadas “de contacto” parece que sí… ¿Se pretende encontrar algo por el estilo con estos razonamientos?

Añado dos observaciones:

- sobre la exhaustividad: en la macla de la espinela, se parte de un octaedro y se aplica una simetría respecto a un plano, pero previamente podía haberse aplicado una rotación respecto a cualquiera de los ejes de simetría del octaedro y componer ambas. El resultado no cambia, claro. Habría ejemplos de composición rotación-simetría, aunque no crearía nada nuevo.

- sobre el formalismo: “Una macla es un intercrecimiento simétrico de dos o más cristales de la misma sustancia” (del mismo libro ya citado de Klein/Dutrow). A la hora de hacer actuar el grupo de movimientos en el espacio sobre cristales (definidos como conjuntos), ¿no habría que añadir la restricción “el conjunto y su transformado tienen intersección no vacía” para que se manifieste el intercrecimiento? He visto que se aludía a esto al diferenciar entre maclas de penetración o de contacto ¿no limita esto las transformaciones posibles? ¿se puede seguir hablando de grupo?

Por lo demás, felicidades por los gráficos.

Saludos
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MensajePublicado: 04 Jul 2013 09:59    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola, ManoloBD. Muchas gracias por tus comentarios. A ver si puedo responder a algunas de tus preguntas y propuestas.

ManoloBD escribió:
De todas formas, comparto el punto de vista expresado ya por otros de que la restricción que imponen las redes cristalinas tampoco se puede despreciar, pues es la que provoca los ángulos finales que puede tener la macla. En este último ejemplo cúbico la restricción está escondida, creo, en el hecho de que se parte de un eje de rotación muy concreto. ¿Es esto lo que obliga a que aparezcan el 60?


El tratamiento algebraico no tiene en consideración la realidad de las redes cristalinas, sino sólo la forma global externa. Si ésta es expresión de una determinada estructura interna o no, eso no afecta a los razonamientos ni a los cálculos. De ahí la gran potencia de estos formalismos abstractos. Pero claro, luego hay que bajar a la realidad, por supuesto. Si en abstracto hemos probado que para cualquiér ángulo de rotación existen ciertos elementos de simetría, la realidad luego nos dirá cuáles son los únicos ángulos posibles en función de la estructura cristalina, pero para esos ángulos todo lo dicho en abstracto se sigue cumpliendo. La razón de que aparezcan los 60º depende de que el eje elegido es un eje ternario, y 360º/3=120º=2·60º (la rotación de 120º dejaría el segundo cubo en una posición globalmente coincidente con la original; su mitad, 60º, justo en la posición más diferente pero con mayor grado de simetría).

"ManoloBD" escribió:
¿Se pretende encontrar algo por el estilo con estos razonamientos?


Lo que yo pretendo es estudiar objetos abstractos que, aplicados a las maclas reales, puedan dar información que no sería fácil de obtener partiendo del estudio concreto de cada ejemplar. Como decía, antes, lo que obtengamos en abstracto se conservará en los casos reales junto a las propiedades específicas de dichos casos.

ManoloBD escribió:
- sobre la exhaustividad: en la macla de la espinela, se parte de un octaedro y se aplica una simetría respecto a un plano, pero previamente podía haberse aplicado una rotación respecto a cualquiera de los ejes de simetría del octaedro y componer ambas. El resultado no cambia, claro. Habría ejemplos de composición rotación-simetría, aunque no crearía nada nuevo.


Rotación y simetría son dos modelos para la macla de la espinela. En realidad hay una relación muy clara entre ellos: para hacerlo por rotación, tendríamos que tomar como cristal base el "medio octaedro" que todos tenemos en mente, reflejarlo por simetría plana, rotarlo 180º para que el original y su imagen formen un octaedro completo, y por último aplicar la rotación contraria (inversa) para obtener la macla deseada; es decir, Ω U σρρ^{-1}(Ω) =Ω U σ(Ω). Como se ve, es lo mismo que aplicar directamente la simetría, pero se hace un camino más largo. El punto clave es que nuestro cristal base NO es, como tú decías, el octaedro completo que se "retuerce" por rotación. Aunque esto produciría el mismo resultado, naturalmente, implicaría manejar partes de cristales por separado (una mitad fija y otra móvil), pero esto no va bien con los movimientos rígidos, que son aplicaciones que trabajan uniformemente sobre TODO el espacio: f:R^3 -------> R^3 .

escribió:
- sobre el formalismo: “Una macla es un intercrecimiento simétrico de dos o más cristales de la misma sustancia.” (del mismo libro ya citado de Klein/Dutrow)A la hora de hacer actuar el grupo de movimientos en el espacio sobre cristales (definidos como conjuntos),¿no habría que añadir la restricción “el conjunto y su transformado tienen intersección no vacía” para que se manifieste el intercrecimiento? He visto que se aludía a esto al diferenciar entre maclas de penetración o de contacto. ¿No limita esto las transformaciones posibles? ¿Se puede seguir hablando de grupo?


Esto de la intersección no vacía está recogido en la conexión que exigí antes para los ACR:

prcantos escribió:

Por tanto, en adelante supondremos que todos los agregados cristalinos son finitos, homogéneos y conexos (aunque también se podría continuar la teoría sin estas restricciones).


La distinción entre penetración y contacto, como ya dije también, no aporta nada a la discusión algebraica, y por eso la deseché; se queda para otro tipo de descripciones, y quizá a nivel cristalográfico sí puede aportar muchas cosas interesantes. Pero no para la forma global. De hecho, no sólo no limita las transformaciones posibles, sino que multiplica los casos por los distintos tipos de contacto que se pueden distinguir.

De todas formas, esto de los ACR finitos, homogéneos y conexos, que parece tan natural, es totalmente prescindible también en el razonamiento abstracto. Ya dije "aunque también se podría continuar la teoría sin estas restricciones". Y es lo que voy a hacer en los próximos posts: no sólo voy a prescindir de estas restricciones, sino que voy a prescindir también de la condición de simetría para los agregados cristalinos, porque he encontrado otras condiciones mucho más manejables algebraicamente, y que en muchos casos implican automáticamente la simetría, incluso sin tener que comprobarla con esas matrices enormes. En eso estoy pensando estos días, a ver si me sale aceptablemente bien. Por lo menos lo que queda claro es que el formalismo abstracto "tiene vida propia" y a veces se puede llegar a conclusiones sorprendentes que desde la realidad de una macla concreta no se podían ni sospechar. Espero ser capaz de hacerlo, ya os voy contando. Saludos.

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Pablo Rodríguez Cantos (Granada)
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MensajePublicado: 09 Jul 2013 12:30    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Hacia una definición de macla (III): series de potencias

Se suele decir que las maclas siempre tienden a aumentar el grado de simetría del agregado cristalino respecto del cristal individual original. En las intervenciones anteriores he tratado de caracterizar qué se entiende geométricamente por conjunto simétrico, y he mostrado cómo el cálculo matricial permite hacer operativa hasta cierto punto la definición.

Sin embargo, hay que observar lo siguiente. La simetría global de un agregado cristalino no sólo depende de la posición de los cristales, sino también de la forma de éstos. Así, en las dos primeras fotos de las flores de la adelfa aparecen agregados quíntuples que, por el movimiento rígido que los genera, podrían ser ejemplos perfectos de conjuntos simétricos mediante cinco planos que contienen al eje de rotación, pero que no lo son por la forma “peculiar” del conjunto base que se repite (en este caso, un pétalo con forma curvilínea).

Esto se podría salvar en muchos casos considerando estas “peculiaridades” como parte de la terminación accidental de los cristales, y tomando el mayor subconjunto del cristal que sí proporciona un resultado simétrico (así lo hice antes a propósito de la macla japonesa del cuarzo).

Pero hay otro acercamiento posible que puede ser muy satisfactorio, y que atiende a la posición relativa de los cristales independientemente de su forma. Si miramos la lista de ejemplos de maclas de la figura 2, y probablemente cualquier otra colección de ejemplos, notaremos que en todas ellas interviene un solo movimiento rígido que genera el agregado cristalino maclado. Es lo que antes describí como un ACR generado por un único movimiento rígido: Ω U f(Ω) U f^2(Ω) U … U f^n(Ω). Es lo que vamos a llamar “serie de potencias”, y como ya he comentado, no es necesario imponer las restricciones de finitud, conexión y homogeneidad; de modo que en adelante trabajaremos con un agregado cristalino cualquiera (finito o infinito; conexo o disconexo; homogéneo o heterogéneo). (Nótese que la homogeneidad es una cuestión física, no matemática; y la conexión y la finitud no se van a usar en estos razonamientos, por lo que no hay que exigirlas ni comprobarlas).

En estas condiciones podemos dar las siguientes definiciones:

Agregado cristalino regular

Sea X = U_i Ω_i un agregado cristalino cualquiera, con i ϵ Z un número entero. Diremos que X es un agregado cristalino regular (ACR) si para cada i, j ϵ Z existe un movimiento rígido f_ij de R^3 tal que f_ij(Ω_i)= Ω_j. (Es la misma definición que ya se dio, salvo las condiciones de finitud, conexión y homogeneidad). Lo característico de un ACR es, pues, que tomados dos cristales cualesquiera del agregado, podemos encontrar un movimiento rígido que transforma uno en otro; pero dicho movimiento depende de los dos cristales considerados, no tiene que ser siempre el mismo. En particular, es fácil comprender que todos los cristales de un mismo ACR tienen la misma forma y tamaño.

Serie de potencias

Sea X = U_i Ω_i un ACR y sean f_ij sus movimientos rígidos asociados, con i, j ϵ Z. Diremos que X es una serie de potencias (SDP) si existe un movimiento rígido f de R^3 tal que f_ij = f para todo i,j. Es decir, una serie de potencias es un ACR en el que todos sus cristales se relacionan, ahora sí, mediante el mismo movimiento rígido. En este caso, el ACR se puede escribir como X = U_i f^i(Ω), con i ϵ Z; es decir, como la unión de un cristal base Ω y sus imágenes por las potencias de f. El conjunto de todos los cristales así obtenidos a partir de Ω, {f^i(Ω) / i ϵ Z}, se puede llamar órbita de Ω para el movimiento rígido f; es decir, la órbita de Ω está formada por Ω y todas sus posiciones debidas al movimiendo rígido. Ver, por ejemplo, la figura 17.

(La denominación de órbita no es casual, sino que está tomada de la teoría de grupos. En realidad, las SDP no son más que casos particulares de acciones del grupo cíclico <f> sobre el conjunto de los subconjuntos de R^3, evaluadas en Ω, y las órbitas de la acción coinciden con las órbitas definidas para la SDP).

La SDP se presenta completa cuando no se generan nuevas posiciones del cristal por más que se aplique más veces el movimiento rígido. En tal caso hablaremos de SDP maximal. Una SDP incompleta se llama parcial de la SDP maximal; por ejemplo, la SDP de cuatro términos de la figura 17. La serie Ω U f^2(Ω) sería otra parcial de la misma SDP, pero no tiene todos los términos entre Ω y la máxima potencia implicada, f^2(Ω). Una SDP se llama truncada si es una parcial que contiene todos los términos posibles entre las potencias implicadas con mayor exponente (positivo o negativo).

Observaciones (según el orden θ del movimiento rígido f de una SDP):

- Si θ(f) = 2, entonces f^2=id, por lo cual la serie de potencias sólo tiene dos términos, X = Ω U f(Ω). La órbita está formada por Ω y su simétrico.
- Si θ(f) = k, con k un número natural mayor que 2, entonces la serie de potencias es finita y se puede escribir como X = Ω U f(Ω) U … U f^{k-1}(Ω). Es decir, el agregado cristalino está formado por el cristal base unido a sus imágenes obtenidas mediante k-1 aplicaciones sucesivas del movimiento rígido.
- Si θ(f) = ∞, entonces la serie es infinita.

Ahora toca realizar un trabajo no sencillo, y bastante técnico: establecer relaciones entre la simetría global del ACR y la SDP según la simetría del cristal base y el tipo de movimiento rígido. (De todas formas, en los casos concretos reales todo es mucho más sencillo, ya que cualquier cosa que pretenda ser una macla, casi con toda seguridad tendrá garantizado un buen nivel de simetría fácilmente reconocible).



figura17.jpg
 Descripción:
Ejemplo de SDP simétrica
El cristal rojo ha sido girado sucesivamente mediante una rotación de 60º con eje constante. Se ha generado una SDP finita de cuatro términos: rojo, verde, morado y azul. Como la rotación es de orden seis, la SDP maximal tendría dos términos más, y la órbita tendría seis elementos. Claramente se trata de una serie truncada. En este caso, la simetría original del cristal garantiza, para la SDP completa y para muchas de sus parciales, la simetría global del ACR.
 Visto:  12170 veces

figura17.jpg



figura18.jpg
 Descripción:
Una parcial de la misma SDP
En este caso, la parcial no es truncada, porque le faltan las potencias impares.
 Visto:  12168 veces

figura18.jpg



figura19.jpg
 Descripción:
Otra parcial de la misma SDP, pero en este caso produce un ACR no simétrico
 Visto:  12157 veces

figura19.jpg



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MensajePublicado: 15 Jul 2013 22:19    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

prcantos escribió:
...Ahora toca realizar un trabajo no sencillo, y bastante técnico...


Hacia una definición de macla (IV): condiciones suficientes de simetría

Vamos ahora a discutir al menos algunos casos sencillos en que se puede asegurar la simetría del agregado cristalino mediante una sola simetría plana. Recordemos que un subconjunto X ≤ R^3 es σ_π – simétrico si σ_π (X) = X. En la figura 20 he escrito las demostraciones de los tres resultados que siguen, que en este caso son muy sencillas.

Lema 1. Si se verifica la inclusión σ_π (X) ≤ X, entonces se tiene la igualdad σ_π (X) = X.

Es decir, para justificar la simetría de un conjunto, basta con probar que su imagen por la simetría queda dentro del conjunto original. Este lema es muy útil en las demostraciones por dos razones: ahorra probar una inclusión cada vez y funciona en el mismo sentido que la inclusión de la imagen directa de la unión de conjuntos (por lo que se adapta muy bien al estudio de σ_π (X)). Pero notemos que en realidad este lema se verifica para cualquier aplicación cuyo cuadrado sea la identidad (lo que se llama una involución); no es imprescindible que sea una simetría.

Proposición 2. Sea Ω ≤ R^3 y σ_π una simetría plana. Entonces el conjunto X = Ω U σ_π (Ω) es σ_π – simétrico.

Es decir, si a un conjunto cualquiera le unimos su imagen por una simetría plana, el resultado es un conjunto simétrico para dicha simetría. Es algo bastante evidente, y además en este caso la demostración es sencilla (figura 20).

Proposición 3. Sea σ_π una simetría plana y f un movimiento rígido de R^3 tales que σ_π f = f σ_π. Sea Ω ≤ R^3 un subconjunto σ_π – simétrico, es decir, σ_π (Ω) = Ω. Entonces el conjunto X = Ω U f(Ω) es simétrico para σ_π.

Esta proposición es interesante porque garantiza la simetría de Ω U f(Ω) si Ω es simétrico y la simetría conmuta con el movimiento rígido. Además, puede extenderse fácilmente por inducción para series de potencias finitas de cualquier número de términos.

En general, los movimientos rígidos no conmutan entre sí (ver un ejemplo en la figura 21). Pero bajo ciertas condiciones la conmutatividad sí puede asegurarse, permitiendo la aplicación de la proposición 3 cuando el conjunto base es simétrico. Veamos algunos de estos casos de conmutatividad (a y b se refieren directamente a la hipótesis de la proposición 2).

a) Si el eje r y el plano π son ortogonales, entonces ρ_r σ_π = σ_π ρ_r .
b) Si el vector u pertenece a la variedad de dirección del plano π (es decir, el vector es paralelo al plano), entonces τ_u σ_π = σ_π τ_u .
c) Si el vector u pertenece a la variedad de dirección del eje r (es decir, el vector es paralelo a la recta), entonces τ_u ρ_r = ρ_r τ_u .
d) Si los planos π1 y π2 son ortogonales, entonces σ_π1 σ_π2 = σ_π2 σ_π1 .
e) La composición de dos rotaciones de igual eje produce una rotación del mismo eje y ángulo la suma de los ángulos, dándose la conmutatividad: ρ_(r,α) ρ_(r,β) = ρ_(r,α+β) = ρ_(r,β) ρ_(r,α) .

En particular, observemos que a), b) y c) indican que los movimientos rígidos dobles que aparecen en la clasificación en siete tipos pueden escribirse en cualquier orden: ρσ = σρ, τσ = στ y τρ = ρτ. Y, por tanto, están en la hipótesis de la proposición.



figura20.jpg
 Descripción:
Demostración de los tres resultados
 Visto:  11975 veces

figura20.jpg



figura21.jpg
 Descripción:
Ejemplo de no conmutatividad de los movimientos rígidos
Partiendo del punto p, que pertenece al plano, la simetría (aplicada en primer lugar) lo deja invariante. La rotación lo mueve y lo eleva un poco sobre el plano. En cambio, si aplicamos primero la rotación, el punto elevado sobre el plano no quedará invariante por la simetría, pues está fuera del plano: σρ ≠ ρσ. Notemos que en este ejemplo el eje de rotación y el plano de simetría no son ortogonales.
 Visto:  11965 veces

figura21.jpg



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MensajePublicado: 16 Jul 2013 12:05    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Hacia una definición de macla (V): el Teorema de Cartan-Dieudonné

Cada vez me convenzo más de que la exigencia de simetría para las maclas es prescindible en este tratamiento algebraico global; que no tiene mucha importancia en las series de potencias, aunque en la mayoría de los casos interesantes se dé.

El Teorema de Cartan-Dieudonné de la Geometría Afín, aplicado a nuestro caso, establece que todo movimeinto rígido de R^3 puede descomponerse como un producto de a lo sumo cuatro simetrías planas. En otras palabras, si tomamos un cristal cualquiera y lo movemos por el espacio, la posición final puede alcanzarse mediante un máximo de cuatro simetrías planas sucesivas adecuadas. En consecuencia, el grupo de los movimientos rígidos está generado por las simetrías.

(Se puede ver el enunciado gereal del teorema aquí, y su aplicación al caso del espacio afín euclídeo en este documento).

Si esta sucesión de simetrías se compone de una, dos o tres simetrías respecto de planos ortogonales, entonces estamos en el caso anteriormente descrito de conjunto Σ-simétrico. Pero se comprenderá que, desde este punto de vista, cuatro simetrías cualesquiera o tres con planos ortogonales se acerca más a un convenio estético que a una cuestión algebraicamente significativa, salvo el hecho de que 3 es la dimensión del espacio afín que nos ocupa.

Esto vale no sólo para la forma global de los cristales, sino también para la red cristalina, pues en ambos casos estamos hablando de conjuntos de puntos. La única diferencia es que las redes cristalinas son conjuntos discretos de puntos, por lo que la inclusión Σ(X)≤X es más difícil de alcanzar, pues no todos los puntos del espacio pertenecen a la red, y hay que imponer siempre las condiciones de periodicidad.



figura22.jpg
 Descripción:
Rotación descompuesta como producto de dos simetrías.

Esta imagen ilustra un caso sencillo del Teorema de Cartan-Dieudonné en el plano afín euclídeo (es fácil imaginarlo en tres dimensiones). El conjunto rojo de la izquierda llega a su imagen rotada (también en rojo) mediante dos simetrías axiales.

(Imagen de dominio público tomada de http(:)//commons(.)wikimedia.org/wiki/File:Two_Reflection_Rotation(.)svg ).
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figura22.jpg



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MensajePublicado: 16 Jul 2013 13:32    Título del mensaje: Re: Maclas  

Hola,
algunos comentarios a dos de las últimas entradas. Como no he visto el uso de las series de potencias, me concentro en dos dudas sobre los agregados cristalinos

Duda 1: Agregado cristalino regular: se toma un cristal ideomorfo (pirita cúbica, por ejemplo) y se divide en fragmentos iguales (por la estructura cristalina será posible). ¿La unión de esos fragmentos es un agregado cristalino regular?

Duda 2: ¿Realmente no es necesario exigir que los cristales del agregado estén conectados de alguna manera? Estadísticamente, puede existir una pirita guardada en un cajón de mi casa, que sea isométrica a otra pirita enterrada y remota ¿Su unión es también un agregado? ¿No falta pedir algo más? Localmente, las redes cristalinas se intersecan.. (Por cierto, el formalismo local, con el epsilón convenientemente pequeño, nos lleva al retículo unidad, ¿no?)

Sobre los resultados técnicos (¡pero a dónde vamos!) me ha parecido que en la demostración del Lema 1, el primer igual debería ser un "pertenece a", lo mismo que el "contenido" que está justo debajo.


Más allá de todo esto, tengo una duda más general, ¿cuántas leyes de macla se conocen aproximadamente? Es que siempre veo las mismas y siempre leo "las maclas más comunes son...". Me agradaría tener un panorama más general del fenómeno. He buscado, pero no doy con ninguna referencia exhaustiva. Solo estudios de casos concretos.

Saludos.
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Antonio Alcaide




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MensajePublicado: 16 Jul 2013 14:06    Título del mensaje: Re: Maclas  

ManoloBD escribió:
Más allá de todo esto, tengo una duda más general, ¿cuántas leyes de macla se conocen aproximadamente? Es que siempre veo las mismas y siempre leo "las maclas más comunes son...". Me agradaría tener un panorama más general del fenómeno. He buscado, pero no doy con ninguna referencia exhaustiva. Solo estudios de casos concretos.


Buena pregunta. Sin duda hay bastantes maclas digamos raras o poco frecuentes, que no son las que solemos tener en cuenta o encontrar en manuales generales o en páginas web que tratan sobre maclas. En el Foro inglés, en los hilos donde se está últimamente debatiendo sobre ejemplos concretos, sin duda he leído sobre más maclas de las que conocía por la literatura.

Creo que no hay referencias exhaustivas -hasta donde yo sé- porque las maclas no se han "deducido", como está haciendo en este interesante trabajo Pablo, sino más bien "inducido" a partir de cristales concretos. De ahí que parezca -o sea- un conjunto abierto-.

Saludos

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MensajePublicado: 16 Jul 2013 14:54    Título del mensaje: Re: Maclas  

Intento contestar a lo que plantea Manolo.

Duda1 - Según la definición que he dado, sí. La unión de los fragmentos iguales será un ACR porque cada fragmento es un cristal, "una individuación de materia cristalina". Pero a nivel abstracto, esto no es significativo (pasa lo mismo que con los agregados homogéneos); de hecho, todo es igual para cualquier subconjunto del espacio.

Duda2 - Para lo que yo estoy haciendo (que sirve lo mismo para flores, tartas o minerales), no hay que exigirlo. Imaginemos el conjunto de todos los dados de parchís del mundo de igual arista: tal conjunto es un ACR salvo en la condición de que los dados sean cristales (condición que, como acabo de decir, no es algebraica, sino que se tendrá que imponer después, al aplicar la teoría). Otro ejemplo de ACR: todos los cubos de pirita de 1 cm. de arista del mundo forman un ACR. El que dichos cristales estén en contacto es, nuevamente, una condición posterior al formalismo. Entonces, ¿por qué la escribí antes? Porque todo esto lo estoy construyendo poco a poco, y al principio yo no sabía a dónde iba a llegar ni qué nivel de abstracción iba a poder mantener. Por eso, pronto pondré la versión definitiva de todas estas definiciones (ya queda poco).

Duda2 (sobre épsilon). Este tipo de cosas probablemente sí sean muy útiles en el estudio de los retículos, pero aquí es indiferente porque se trata de subconjuntos del espacio (da igual qué haya dentro).

(Fíjate, Manuel, que las tres preguntas tienen que ver con lo que supone elegir un planteamiento abstracto).

Sobre los resultados técnicos: tienes razón en los dos casos. Por más revisiones que se hagan en estas cosas antes de publicar, hasta que otros ojos/cerebro no lo ven... Muchas gracias, lo corrijo. Espero que no haya más errores.

prcantos escribió:
...Este lema es muy útil en las demostraciones por dos razones: ahorra probar una inclusión cada vez y funciona en el mismo sentido que la inclusión de la imagen directa de la unión de conjuntos (por lo que se adapta muy bien al estudio de σ_π (X)). Pero notemos que en realidad este lema se verifica para cualquier aplicación cuyo cuadrado sea la identidad (lo que se llama una involución); no es imprescindible que sea una simetría.


Y puliendo un poco más (son detalles que se van viendo cuando uno vuelve sobre estas cosas), en realidad en las demostraciones de las dos proposiciones se pueden sustituir las inclusiones por igualdades porque "la imagen de la unión es igual a la unión de las imágenes" (más fácil aún). De todas formas, conviene retener el lema, que puede ser cómodo en los casos particulares.

Sobre la lista completa de maclas: yo tampoco la he visto nunca. Sin duda Antonio tiene razón en lo que dice. Por eso uno de los objetivos de este estudio algebraico es precisamente clasificar las maclas, dando una tipología exhaustiva. De todas formas, el hecho de que definamos siete tipos no limita el número de los ejemplos concretos que pueda haber en cada tipo.

Muchas gracias por todas estas observaciones.



figura20 corregida.jpg
 Descripción:
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figura20 corregida.jpg



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MensajePublicado: 20 Jul 2013 22:16    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

Otro ejemplo: estudio de las piritas de Navajún

Vamos a poner otro ejemplo de aplicación de este formalismo tan abstracto a un problema concreto: el estudio de las formaciones de piritas cúbicas de Navajún. Son agregados cristalinos bien conocidos (figura 23). Veamos qué podemos decir con las herramientas del Álgebra Lineal y la Geometría Afín.

La primera observación se refiere al tamaño de los cubos: sólo están relacionados mediante movimientos rígidos aquellos cubos del mismo tamaño, por lo que, en general, los agregados cúbicos de Navajún no son ACR ni SDP. De todas formas, teniendo en cuenta la ya comentada versión local del formalismo, podemos decir que podemos restringir el estudio al caso de cubos del mismo tamaño sin perder demasiada generalidad.

La segunda observación se refiere al número de cristales. Aquí vamos a trabajar por comodidad con ACR de dos elementos, pero la extensión a un número cualquiera es inmediata.

Primer caso: el movimiento helicoidal canónico

Los ejemplares de Navajún nos proporcionan ejemplos de cristales relacionados por un movimiento helicoidal. Supongamos que un cubo de pirita gira respecto del eje r = (111) (hasta aquí es igual que el ejemplo anterior de las fluoritas cúbicas), y añadamos ahora una traslación de vector paralelo al mismo eje. El resultado es un movimiento helicoidal: rotación + traslación según el eje. El sistema de referencia y las matrices son los mismos que en el caso de la fluorita (es una ventaja del formalismo abstracto), por lo que podemos repetir los mismos cálculos para obtener los mismos resultados sobre la simetría: en la figura 24 se observa la evidente simetría respecto de r┴ para el caso de α = 60º. También se puede comprobar la simetría respecto de dos planos ortogonales que contienen al eje r. De este modo, este ACR cumpliría la exigencia de simetría global de la definición de macla, aunque probablemente las redes cristalinas no estarían en la coincidencia exigida.

Para otros ángulos no se tiene simetría (figura 25 a la izquierda)

Segundo caso: movimiento helicoidal más traslación no paralela al eje

En este caso, la traslación que sigue a la rotación se produce según un vector v no paralelo a r (figura 25 a la derecha). Dicho vector se puede descomponer como suma de dos componentes: una paralela a r, como en el caso anterior, y otra ortogonal a r, por lo que, en principio, podemos pensar que se trata de un “movimiento helicoidal deslizante”. Pero este movimiento no existe como tipo básico en la clasificación, por lo que tenemos que proceder de otra forma, cambiando a un nuevo sistema de referencia... ¡que aún no sabemos cuál debe ser!

Pero en esta situación los resultados teóricos vienen en nuestra ayuda. Si tomamos como primer sistema de referencia el mismo ya empleado, con M la matriz de la rotación como antes, y escribimos el vector v = (a b c)^t en la base ortonormal de dicho sistema de referencia, entonces el movimiento rígido que está funcionando y que tenemos que clasificar es

f (x y z)^t = M(x y z)^t + (a b c )^t,

con coordenadas en la base ortonormal referida (^t denota la matriz traspuesta).

Calculemos los rangos de las matrices M-I y (M-I | -(a b c)^t), donde I es la matriz identidad de orden tres. Como resultados obtenemos:

- Si a ≠ 0, entonces rango (M-I) = 2 y rango (M-I | -(a b c)^t) = 3, por lo que f es, de hecho, un movimiento helicoidal, pero su eje de rotación (variedad invariante) ya no es la recta r, sino la recta de ecuaciones (M-I)^2 (x y z)^t + (M-I)(a b c)^t = 0 en la base que estamos usando (en la figura 25 a la derecha, este nuevo eje r' está marcado en verde a mano, no con el programa, sino sólo como sugerencia). Es decir, si elegimos un nuevo sistema de referencia adaptado a este nuevo eje, entonces veremos la transformación como un movimiento helicoidal cuyo nuevo vector de traslación es paralelo al nuevo eje.

- Si a = 0, entonces rango (M-I) = rango (M-I | -(a b c)^t) = 2, por lo que existe una recta de puntos fijos (con dimensión 3-2), y el movimiento rígido se puede ver, en el nuevo sistema de referencia, como una rotación (sin traslación) cuyo eje es la recta de ecuaciones (M-I)(x y z)^t=-(a b c)^t (ecuación en el antiguo sistema de referencia).

Es decir, los pares de cubos “rotados y trasladados” corresponden casi siempre a movimientos helicoidales, y algunas veces a rotaciones axiales.



figura23.jpg
 Descripción:
Cubos interpenetrados de pirita de Navajún, de la colección de Diego Navarro.
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figura23.jpg



figura24.jpg
 Descripción:
ACR simétrico generado por un movimiento helicoidal de ángulo 60º.
 Visto:  11651 veces

figura24.jpg



figura25.jpg
 Descripción:
Movimiento helicoidal y movimiento helicoidal + traslación
A la izquierda un movimiento helicoidal puro o canónico (el vector de traslación es paralelo al eje de rotación). A la derecha, el vector no es paralelo al eje; pero clasificando el movimiento rígido podemos calcular un nuevo eje r' que lo convierte en un movimiento helicoidal canónico.
 Visto:  11669 veces

figura25.jpg



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MensajePublicado: 21 Jul 2013 02:50    Título del mensaje: Re: Maclas  

Me he perdido aquí ¿Entonces qué se concluye del estudio del agregado de pirita de Navajún, sabiendo que no es una macla?
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Antonio Alcaide




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MensajePublicado: 21 Jul 2013 08:17    Título del mensaje: Re: Maclas - un formalismo algebraico  

prcantos escribió:

podemos pensar que se trata de un “movimiento helicoidal deslizante”. Pero este movimiento no existe como tipo básico en la clasificación, por lo que tenemos que proceder de otra forma, cambiando a un nuevo sistema de referencia... ¡que aún no sabemos cuál debe ser!
[...]
Es decir, si elegimos un nuevo sistema de referencia adaptado a este nuevo eje, entonces veremos la transformación como un movimiento helicoidal cuyo nuevo vector de traslación es paralelo al nuevo eje.


Me es muy difícil poner objeciones ya que apenas puedo "penetrar" en el planteamiento matemático. Pero los párrafos que he citado tienen toda la pinta de adaptar "ad hoc" el sistema ante un caso problemático, lo que no me gusta mucho desde el punto de vista teórico.

Por otra parte, observo que en la foto del agregado de piritas que has publicado, los cubos no coinciden sobre las aristas, como en el primer diagrama, sino que "penetra" el cubo superior sobre una cara del inferior, más bien como en tu segundo diagrama -con traslación no paralela al eje-, si no he entendido mal. Esto no es una pega, sino una necesidad de aclaración, más bien.

Y creo -estoy hablando de memoria-, pero paso en un momento a comprobarlo en mis piezas (afortunadamente de Navajún tengo una muestra abundante), que las combinaciones de agregados son muy variadas. No sé si tu planteamiento pretende ser exhaustivo o no.

Saludos

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